Если - простой корень характеристического уравнения , то присоединенная матрица содержит хотя бы один ненулевой столбец, которому соответствует собственный вектор

Пример 25. Существует ли базис из собственных векторов линейного оператора , имеющего в некотором базисе матрицу ?

Решение. Найдём собственные значения . (см.(23))

Составим характеристическое уравнение. и решим его.

.

Так как , то существуют два линейно независимых вектора и они образуют новый базис линейного пространства, в котором действует данный линейный оператор (см. (24)). Найдём векторы этого базиса, то есть собственные векторы линейного оператора. Так как , то собственные векторы можно найти, используя присоединённую матрицу . (см. (26))

Вычисляем алгебраические дополнения элементов первой строки матрицы и выписываем их в первый столбец матрицы . Подставляя по очереди в этот столбец , получаем соответствующие собственные векторы:

– первый собственный вектор;

(а также ).

– второй собственный вектор; (а также ).

Найдены векторы нового базиса и

Матрица линейного оператора в этом новом базисе имеет диагональный вид . (см. (26))

Матрица перехода от старого базиса к новому: (см. (4))

Проверим связь между матрицами: .

Ответ: и - базис из собственных векторов.

Пример 26. Привести матрицу

к диагональному виду и указать матрицу перехода.

Решение. Данная матрица, заданная в некотором базисе, однозначно определяет линейный оператор .

а) Матрица линейного оператора имеет диагональный вид в базисе из собственных векторов, если таковой существует.

Составим характеристическое уравнение и найдём его корни (см.(22)).

Так как собственные значения попарно различны, соответствующие им собственные векторы линейно независимы. Следовательно, эти векторы образуют новый базис линейного пространства, при переходе к которому матрица оператора принимает диагональный вид.

. (см. (25))

Матрица перехода от старого базиса к новому составляется из координат новых базисных векторов, то есть собственных векторов матрицы А. Так как собственные значения попарно различны, то есть являются простыми корнями характеристического уравнения, соответствующие им собственные векторы можно найти, используя присоединённую матрицу . (см.(26))

Составим первый столбец этой матрицы, для чего вычислим алгебраические дополнения элементов первой строки матрицы .

.

При получаем столбец

Но собственный вектор не может быть нулевым по определению. Для необходимо составить второй, а, может быть, и третий, столбец.

При получим столбец

При получим столбец

Вычислим алгебраические дополнения элементов второй строки матрицы и выпишем второй столбец матрицы

.

При получаем столбец первый собственный вектор .

Чтобы составить матрицу перехода U, выписываем координаты собственных векторов в соответствующие столбцы:

. (см.(4))

Вычислив обратную матрицу , можно также убедиться в том, что

.

Замечание. Если координаты вектора в старом базисе обозначить как , а в новом базисе - как и поставить этому вектору в соответствие матрицы-столбцы и , то связь между новыми и старыми координатами выражается следующим соотношением:

(см.(4))

То есть - линейное преобразование координат вектора при переходе к базису из собственных векторов.

Ответ: .

Задачи для самостоятельной работы.

1. Найдите собственные векторы линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу: а) .

Ответ:

б) . Ответ: .