![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Теорема. Если самосопряжённый оператор имеет в некотором базисе матрицу A, то все корни характеристического уравнения
действительны.
В частности, если матрица А симметрическая, то корни уравнения действительны.
Теорема. Если - корень характеристического уравнения
кратности k, то ему соответствуют k линейно независимых векторов оператора
Следствие. Самосопряжённый линейный оператор, действующий в n- мерном евклидовом пространстве , имеет n действительных собственных значений, считая кратные, а также n линейно независимых собственных векторов.
Отсюда вытекает, что если - самосопряжённый оператор, то в
существует базис из собственных векторов этого оператора. (29)
Теорема. Собственные векторы самосопряжённого оператора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.
Итак, если , то им соответствуют собственные векторы
такие, что
.
Вывод. Если - самосопряжённый оператор, действующий в
,то существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. (30)
Следствие. Если А - симметрическая матрица, то её можно привести к диагональному виду причём
, где - матрица перехода к новому базису, составленная соответствующим образом из координат собственных векторов матрицы А, образующих ортонормированный базис в
.
Такая матрица В обладает свойством и называется ортогональной. Поэтому
. (31)
Преобразование пространства , задаваемое матрицей В, называется ортогональным.
Дата публикования: 2014-12-28; Прочитано: 1020 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!