Свойства собственных значений и собственных векторов самосопряжённого оператора

Теорема. Если самосопряжённый оператор имеет в некотором базисе матрицу A, то все корни характеристического уравнения действительны.

В частности, если матрица А симметрическая, то корни уравнения действительны.

Теорема. Если - корень характеристического уравнения кратности k, то ему соответствуют k линейно независимых векторов оператора

Следствие. Самосопряжённый линейный оператор, действующий в n- мерном евклидовом пространстве , имеет n действительных собственных значений, считая кратные, а также n линейно независимых собственных векторов.

Отсюда вытекает, что если - самосопряжённый оператор, то в существует базис из собственных векторов этого оператора. (29)

Теорема. Собственные векторы самосопряжённого оператора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Итак, если , то им соответствуют собственные векторы такие, что .

Вывод. Если - самосопряжённый оператор, действующий в ,то существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. (30)

Следствие. Если А - симметрическая матрица, то её можно привести к диагональному виду причём , где - матрица перехода к новому базису, составленная соответствующим образом из координат собственных векторов матрицы А, образующих ортонормированный базис в .

Такая матрица В обладает свойством и называется ортогональной. Поэтому . (31)

Преобразование пространства , задаваемое матрицей В, называется ортогональным.