Произведение операторов

Определение. Произведением или композицией двух операторов и называется новый оператор , действующий следующим образом:

, где , и

По аналогии, и в общем случае .

Если в некотором базисе пространства операторы имеют матрицы и соответственно, то матрицей оператора, равного произведению является матрица, равная произведению , то есть

. (16)

Пример 22. В линейном пространстве задан оператор дифференцирования . Найдём образ вектора

под действием оператора, равного произведению операторов .

Решение. Выберем базис пространства L такой же, как в примере 18, в котором была установлена линейность данного оператора и составлена его матрица. А именно, базис .

Матрица оператора в нём имеет вид . (см. пример 18)

Тогда матрица оператора

(см.(16))

Найдём образ вектора . Из того, что следует, что , где

, что соответствует многочлену 8.

Замечание. Выясним, в чём заключается действие оператора на элементы данного пространства. По определению

.

То есть, – суть оператор взятия второй производной.

Проверим полученный в примере ответ.

8. Ответы совпали.

Ответ: 8.

Пример 23. В геометрическом пространстве V₃ с зафиксированным базисом , отнесённым к точке О, заданы два оператора. Действие оператора заключается в повороте пространства вокруг оси, на которой расположен вектор на угол . Оператор проектирует пространство на плоскость , то есть отображает на . Составим матрицы операторов в заданном базисе.

Найдём образ вектора , под действием каждого из этих операторов.

Решение. а) Чтобы составить матрицу оператора

, найдём образы базисных

- матрица оператора

Аналогично, для оператора имеем

- матрица оператора .

Оператору суммы соответствует матрица

. (см.(14))

Оператору произведения соответствует матрица

. (см.(16))

И, наконец, оператору произведения соответствует матрица

.

б) Найдём образы вектора под действием этих операторов.

Если , то (см. (12))

Откуда получаем: .

Аналогично, если , то

.

.

.

.

Все результаты можно проверить геометрически (см. рис. 4).

Вектор получается как образ вектора при повороте вокруг орта на

как образ вектора при проектировании на плоскость XOY.

По определению, вектор .

Аналогично, вектор = , то есть вектор получается как образ вектора при повороте вокруг орта на

	Рисунок 4

И, наконец, вектор = , то есть - образ вектора при проектировании на плоскость XOY.

Ответ: , , , ,