 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Нахождение собственных векторов и собственных значений линейного оператора (матрицы А)
|
|
Пусть в линейном пространстве L выбран базис, в котором линейный оператор 
имеет матрицу 
. Вектор 
в этом базисе имеет координаты 
, и ему ставится в соответствие матрица-столбец 
. Если − собственный вектор линейного оператора, то
Отсюда следует, что 
или 
. То есть 
(20)
Таким образом координаты собственного вектора удовлетворяют следующей ОСЛАУ:
(21)
Поскольку собственный вектор 
, то ОСЛАУ (21) должна иметь ненулевое решение. Из критерия существования нетривиального решения ОСЛАУ следует, что
. Итак, мы получили уравнение
, (22)
называемое характеристическим. Это алгебраическое уравнение n-ого порядка относительно 
. Решая его, определяют собственные значения оператора.
Из вышеизложенного следует план (23) нахождения собственных векторов и собственных значений заданного линейного оператора 
, имеющего в некотором базисе матрицу А:
1) составляем характеристическое уравнение 
и, решая его, находим собственные значения 
;
2) для каждого 
составляем ОСЛАУ (21), отвечающую равенству
, и находим её общее решение, имеющее вид
, где r -ранг матрицы 
, а
− столбцы, соответствующие линейно-независимым собственным векторам 
, найденным для .
Пример 24. Найдём собственные значения и собственные векторы линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу 
.
Решение. (см. (23))
1) Составим характеристическое уравнение 
и решим его.
Разложим определитель в левой части по элементам последнего столбца.
Имеем единственное собственное значение 
.
2) Подставляем 
в ОСЛАУ (21) или (20)
, где 
- матрица, соответствующая искомому собственному вектору 
Очевидно, что в матрице 
только одна линейно независимая строка и ранг 
. Откуда по теореме о структуре общего решения ОСЛАУ следует
, т. к. 
(см. (23)).
Т. е. данный оператор имеет два линейно независимых собственных вектора.
Равенство 
равносильно системе, состоящей из одного уравнения:
, то есть, 
. Тогда
, где 
, 
. 
и 
- искомые собственные векторы.
Ответ: Любой вектор 
, полученный при произвольных 
, не равных нулю одновременно, является собственным вектором оператора с собственным значением , причём, имеется пара линейно независимых собственных векторов, скажем 
и .
4.3 Свойства собственных векторов линейного оператора.
1. Каждому собственному вектору соответствует единственное собственное значение. Но, одному собственному значению соответствует бесконечное множество собственных векторов, так как из линейности оператора следует, что если 
, то и 
. То есть, если - собственный вектор линейного оператора, то и любой вектор 
, где 
– ненулевое число, тоже является собственным вектором этого оператора.
Дата публикования: 2014-12-28; Прочитано: 238 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
