Нахождение собственных векторов и собственных значений линейного оператора (матрицы А)

1) составляем характеристическое уравнение

и, решая его, находим собственные значения ;

2) для каждого составляем ОСЛАУ (21), отвечающую равенству

, и находим её общее решение, имеющее вид

, где r -ранг матрицы , а

− столбцы, соответствующие линейно-независимым собственным векторам , найденным для .

Пример 24. Найдём собственные значения и собственные векторы линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу .

Решение. (см. (23))

1) Составим характеристическое уравнение и решим его.

Разложим определитель в левой части по элементам последнего столбца.

Имеем единственное собственное значение .

2) Подставляем в ОСЛАУ (21) или (20)

, где - матрица, соответствующая искомому собственному вектору

Очевидно, что в матрице только одна линейно независимая строка и ранг . Откуда по теореме о структуре общего решения ОСЛАУ следует

, т. к. (см. (23)).

Т. е. данный оператор имеет два линейно независимых собственных вектора.

Равенство равносильно системе, состоящей из одного уравнения:

, то есть, . Тогда

, где , . и - искомые собственные векторы.

Ответ: Любой вектор , полученный при произвольных , не равных нулю одновременно, является собственным вектором оператора с собственным значением , причём, имеется пара линейно независимых собственных векторов, скажем и .

4.3 Свойства собственных векторов линейного оператора.

1. Каждому собственному вектору соответствует единственное собственное значение. Но, одному собственному значению соответствует бесконечное множество собственных векторов, так как из линейности оператора следует, что если , то и . То есть, если - собственный вектор линейного оператора, то и любой вектор , где – ненулевое число, тоже является собственным вектором этого оператора.