![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть в линейном пространстве L выбран базис, в котором линейный оператор имеет матрицу
. Вектор
в этом базисе имеет координаты
, и ему ставится в соответствие матрица-столбец
. Если
− собственный вектор линейного оператора, то
Отсюда следует, что или
. То есть
(20)
Таким образом координаты собственного вектора удовлетворяют следующей ОСЛАУ:
(21)
Поскольку собственный вектор , то ОСЛАУ (21) должна иметь ненулевое решение. Из критерия существования нетривиального решения ОСЛАУ следует, что
. Итак, мы получили уравнение
, (22)
называемое характеристическим. Это алгебраическое уравнение n-ого порядка относительно . Решая его, определяют собственные значения оператора.
Из вышеизложенного следует план (23) нахождения собственных векторов и собственных значений заданного линейного оператора , имеющего в некотором базисе матрицу А:
1) составляем характеристическое уравнение
и, решая его, находим собственные значения ;
2) для каждого составляем ОСЛАУ (21), отвечающую равенству
, и находим её общее решение, имеющее вид
, где r -ранг матрицы
, а
− столбцы, соответствующие линейно-независимым собственным векторам
, найденным для
.
Пример 24. Найдём собственные значения и собственные векторы линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу .
Решение. (см. (23))
1) Составим характеристическое уравнение и решим его.
Разложим определитель в левой части по элементам последнего столбца.
Имеем единственное собственное значение .
2) Подставляем в ОСЛАУ (21) или (20)
, где
- матрица, соответствующая искомому собственному вектору
Очевидно, что в матрице только одна линейно независимая строка и ранг
. Откуда по теореме о структуре общего решения ОСЛАУ следует
, т. к.
(см. (23)).
Т. е. данный оператор имеет два линейно независимых собственных вектора.
Равенство равносильно системе, состоящей из одного уравнения:
, то есть,
. Тогда
, где
,
.
и
- искомые собственные векторы.
Ответ: Любой вектор , полученный при произвольных
, не равных нулю одновременно, является собственным вектором оператора
с собственным значением
, причём, имеется пара линейно независимых собственных векторов, скажем
и
.
4.3 Свойства собственных векторов линейного оператора.
1. Каждому собственному вектору соответствует единственное собственное значение. Но, одному собственному значению соответствует бесконечное множество собственных векторов, так как из линейности оператора следует, что если
, то и
. То есть, если
- собственный вектор линейного оператора, то и любой вектор
, где
– ненулевое число, тоже является собственным вектором этого оператора.
Дата публикования: 2014-12-28; Прочитано: 240 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!