Линейные операции с линейными операторами

Определение. Операторы и называются равными, если для любого выполняется равенство:

. (13)

Определение. Суммой операторов и называется оператор действие которого заключается в следующем:

Если в пространстве задан базис, и операторы имеют в нём матрицы и соответственно, то матрица суммы операторов равна сумме матриц этих операторов:

. (14)

Определение. Произведением оператора и числа называется новый оператор, действие которого заключается в следующем:

Матрица произведения оператора на некоторое число равна произведению матрицы оператора на это число: ( 15)

Пример 21. В пространстве геометрических векторов V₂ с базисом заданы два оператора: оператор поворота пространства относительно точки О на угол , а – оператор проектирования пространства на прямую l, составляющую с вектором угол . Составим

Рисунок 2

матрицы операторов , и найдём образы вектора под их действием.

Решение. 1)Линейность оператора была установлена в примере 15. Составим матрицу оператора в базисе . (см. (11))

(см. рис. 2)

2) Линейность оператора и его матрица в базисе были установлены

в примерах 16 и 19. Поскольку здесь , то матрица оператора имеет вид:

.

3) Найдём образы вектора под действием операторов и . (см.(12))

2) Пусть - оператор суммы операторов и ,

и . Тогда

. (см. (14))

Проверим действие матриц этих операторов.
и

Вектор , найденный по определению суммы двух операторов, и вектор, найденный с помощью матриц операторов, совпали.

3) Составим матрицу оператора . (см.(15))

И если , то

Ответ: , , , .