Второй способ нахождения собственного вектора, отвечающего простому корню характеристического уравнения

Теорема. Если - простой корень характеристического уравнения

, то соответствующий ему собственный вектор можно получить хотя бы из одного столбца присоединённой матрицы , подставив в него . (26)

Доказательство. а) Убедимся в том, что если , то любой столбец Х присоединенной к матрицы удовлетворяет уравнению , где 0 – нулевой столбец. Вспомним, что присоединенной для называется матрица, элементами столбцов которой являются алгебраические дополнения элементов соответствующих строк матрицы . И для элемента алгебраическое дополнение равно произведению на минор этого элемента, то есть на определитель, полученный из вычеркиванием -ой строки и -ого столбца. Итак, если

, a − i-й столбец матрицы , и , то

, где - алгебраическое дополнение элемента матрицы С, а .

Пусть , тогда каждый элемент этой матрицы .

Имеют место следующие свойства определителя: сумма произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения равна этому определителю, а сумма произведений элементов строки на алгебраические дополнения элементов другой строки равна нулю.

Таким образом, при получаем по условию, и при также . То есть, .

Отсюда следует, что если - корень характеристического уравнения и хотя бы один столбец матрицы не является нулевым, то этот столбец соответствует собственному вектору : .

б) Убедимся в том, что если - простой корень характеристического уравнения , то присоединенная матрица содержит хотя бы один ненулевой столбец.

Допустим, все элементы присоединенной матрицы равны нулю, то есть алгебраические дополнения всех элементов матрицы

нулевые.

Алгебраические дополнения являются минорами -ого порядка матрицы и равенство всех их нулю влечет за собой вывод о том, что ранг матрицы не больше, чем . В этом случае координаты искомого собственного вектора, соответствующего , удовлетворяют ОСЛАУ , общее решение которой содержит не менее двух линейно независимых частных решений, соответствующих собственным векторам для .

Так, если , то по теореме о структуре общего решения неопределенной ОСЛАУ это общее решение имеет вид . Причем - линейно независимые частные решения ОСЛАУ, отвечающие двум собственным для векторам , линейно независимым между собой.

Получили следующий вывод. Если все алгебраические дополнения элементов присоединенной матрицы равны нулю, то собственному значению соответствует не менее двух собственных линейно независимых векторов. Это противоречит теореме о том, что геометрическая кратность не превышает алгебраической кратности собственного значения, ибо простому корню характеристического уравнения соответствует лишь один собственный вектор. Итак, пришли к противоречию, и исходное предположение неверно.