Матрица линейного оператора

Если в конечномерном линейном пространстве L зафиксировать некоторый базис , то любой вектор пространства можно разложить по этому базису. То есть, если , то или

Если линейный оператор, отображающий L на L, то образ каждого базисного вектора можно разложить по базису :

Система образов базисных векторов может быть новым базисом пространства, но

может и не быть им.

Определение. Матрицей А линейного оператора в базисе называется матрица, элементами столбцов которой являются координаты образов соответствующих базисных векторов, полученных под действием этого оператора.

(11)

Если векторам и поставить в соответствие матрицы-столбцы из координат этих векторов: , то имеет место следующее соответствие:

(12)

Пример 18. В линейном пространстве, элементами которого являются многочлены степени не выше третьей, задан оператор дифференцирования . Убедимся, что он является линейным оператором. Составим матрицу этого оператора в базисе . Найдём образ элемента под действием данного оператора.

Решение. 1) Проверим, выполняются ли условия линейности оператора , используя свойства производных (см. (10)).

,

.

Оба условия выполнены.

Аксиомы линейности оператора вытекают из свойств дифференцирования. Данный оператор является линейным.

2) Составим его матрицу в базисе . (см. (11)) Чтобы составить матрицу линейного оператора, подвергаем его действию базисные векторы. Образы этих векторов

.

Полученные образы разложим по базису

Матрица линейного оператора в каждом столбце содержит координаты соответствующих образов базисных векторов (см. (11)):

.

3)Образ вектора получается в результате действия на вектор оператора , то есть . Или в матричном виде (см (12)).

Так как в условии дан многочлен в заданном базисе ему соответствует вектор

.

Тогда

, или .

Легко убедиться в верности ответа, вычислив производную непосредственно.

.

Пример 19. Составим матрицу линейного оператора, проектирующего пространство компланарных плоскости V₂ геометрических векторов на некоторую прямую с направляющим единичным вектором , принадлежащим этому пространству, выбрав ортонормированный базис .

Решение. В примере 16 было показано, что данный оператор является линейным. В плоскости V₂ зафиксируем на данной прямой l точку О и отнесём к ней все векторы. Действие данного оператора можно выразить следующим образом:

. (см. пример 16)

Рисунок 1

Из векторной алгебры известно, что . Учитывая, что , имеем . Чтобы составить матрицу линейного оператора, найдём образы базисных векторов и и разложим их по базису . (см. (11))

Пусть прямая l образует с вектором угол , тогда

(см. рис 1)

Полученные координаты образов и выписываем в соответствующие столбцы матрицы оператора: .

В частности, если прямая l составляет с базисными векторами углы , то получаем матрицу .

И, например, проекцией вектора на такую прямую будет

вектор : , что легко можно проверить, построив соответствующий чертеж.

Ответ: матрица данного оператора в базисе :

Пример 20. В пространстве арифметических векторов задан оператор

.

Выяснить, является ли он линейным и, если является, составить его матрицу в каноническом базисе.

Решение. Проверим, выполняются ли условия линейности оператора (см.(10))

Пусть

и

Тогда

Из свойств линейных операций с векторами, заданными своими координатами, следует, что

− одно условие выполнено.

Заданный оператор является линейным.

Составим его матрицу в каноническом базисе, то есть в базисе, состоящем из векторов

, .. (см.(11))

Найдём образы базисных векторов и разложим их по базису

У вектора координаты И его образ .

Аналогично , .

Выписывая полученные координаты образов в базисе в столбцы, получим

матрицу линейного оператора

Задачи для самостоятельной работы.

1. Убедитесь в том, что оператор , действующий в пространстве так, что , является линейным. Составьте матрицу этого оператора в стандартном базисе. Ответ:

2. В линейном пространстве геометрических векторов с базисом задан оператор , где . Убедитесь в том, что этот оператор является линейным. Составьте его матрицу и найдите образ вектора . Ответ проверьте, вычислив векторное произведение непосредственно. Ответ:

3. В пространстве геометрических векторов с базисом , отнесённым к точке 0, оператор проектирует все векторы на прямую l, проходящую через точку 0 и составляющую равные углы с базисными векторами. Убедитесь в том, что этот оператор является линейным. Составьте его матрицу и найдите образ вектора . Ответ:

4. В линейном пространстве матриц вида действует оператор

, где . Убедитесь в том, что этот оператор является линейным. Составьте его матрицу в базисе

Ответ: