![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение. Линейное пространство называется Евклидовым, если задан закон, по которому каждым двум векторам пространства ставится в соответствие действительное число, называемое скалярным произведением этих векторов:
, причём имеют место следующие аксиомы:
1) ;
2) (6)
3)
4) .
Определение. Нормой (евклидовой) вектора называется число
. (7)
Определение. Нормированием ненулевого вектора называется построение вектора такого, что его норма
.
Определение. Векторы и
называются ортогональными, если
Определение. Базис евклидова пространства
называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и их нормы равны единице, то есть
(8)
Замечание. Только в ортонормированном базисе скалярное произведение и
вычисляется по формуле
,
а норма вектора ,
если ,
. (9)
Пример 12. Проверим, является ли евклидовым пространство геометрических векторов с определённым обычным способом скалярным произведением
.
Для этого выясним, выполняются ли соответствующие аксиомы. (см.(6))
1)
2)
3)
Эти три аксиомы совпадают со свойствами скалярного произведения.
4) при
и
, если
. – и четвёртая аксиома выполняется.
Вывод: данное пространство является евклидовым.
Пример 13. Выясним, будет ли являться евклидовым линейное пространство , если определить скалярное произведение его векторов следующим образом:
Решение. Проверим, выполняются ли соответствующие аксиомы:
1) , так как
, так как
=
, так как
5) так как
(свойство определённого интеграла), причём интеграл обращается в ноль только при
.
Ответ: пространство с заданным произведением векторов является евклидовым.
Пример 14. Проверим, можно ли в пространстве арифметических векторов задать скалярное произведение следующим образом:
А) , где
и
- векторы пространства
B) ,, где
и
- векторы пространства
.
Решение. А) Проверим, выполняются ли аксиомы для данного произведения.
1) - выполнена;
2) выполнена;
3) - выполнена;
4) - выполнена.
Ответ: так как все аксиомы выполнены, в пространстве таким образом можно задать скалярное произведение.
B) Проверим выполнение аксиом для данного произведения:
1) – выполнена;
2) выполнена;
3) – выполнена;
4) может быть меньше нуля, поэтому аксиома
не выполняется.
Ответ: данное произведение векторов не является скалярным.
Замечание. Линейное пространство арифметических векторов
будет являться евклидовым, если скалярное произведение любых двух его векторов в ортонормированном базисе определить следующим образом
Задачи для самостоятельной работы.
1. Проверьте, образует ли линейное пространство множество геометрических векторов, отнесённых к общему началу 0, концы которых принадлежат зафиксированной прямой, не проходящей через точку 0. Ответ: нет.
2. Выясните, является ли линейно зависимой система следующих векторов линейного пространства :
. Ответ: да.
3. Выясните, является ли линейно зависимой система следующих векторов линейного пространства :
. Ответ: нет.
4. В линейном пространстве многочленов степени не выше третьей выбраны два базиса и
. Составьте матрицу перехода от первого базиса ко второму и с её помощью разложите многочлен
по степеням
. Ответ:
5. Убедитесь в том, что в линейном пространстве векторы
,
,
образуют базис и найдите координаты вектора
в этом базисе. Ответ:
6. Выясните, можно ли в арифметическом пространстве определить скалярное произведение векторов, где
и
следующим образом: а)
. Ответ: можно.
б) . Ответ: нельзя, так как аксиома
не выполняется.
Дата публикования: 2014-12-28; Прочитано: 693 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!