Евклидово пространство. Определение.Линейное пространство называется Евклидовым, если задан закон, по которому каждым двум векторам пространства ставится в соответствие

Определение. Линейное пространство называется Евклидовым, если задан закон, по которому каждым двум векторам пространства ставится в соответствие действительное число, называемое скалярным произведением этих векторов:

, причём имеют место следующие аксиомы:

1) ;

2) (6)

3)

4) .

Определение. Нормой (евклидовой) вектора называется число . (7)

Определение. Нормированием ненулевого вектора называется построение вектора такого, что его норма .

Определение. Векторы и называются ортогональными, если Определение. Базис евклидова пространства называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и их нормы равны единице, то есть (8)

Замечание. Только в ортонормированном базисе скалярное произведение и вычисляется по формуле ,

а норма вектора ,

если , . (9)

Пример 12. Проверим, является ли евклидовым пространство геометрических векторов с определённым обычным способом скалярным произведением

.

Для этого выясним, выполняются ли соответствующие аксиомы. (см.(6))

1)

2)

3)

Эти три аксиомы совпадают со свойствами скалярного произведения.

4) при и , если . – и четвёртая аксиома выполняется.

Вывод: данное пространство является евклидовым.

Пример 13. Выясним, будет ли являться евклидовым линейное пространство , если определить скалярное произведение его векторов следующим образом:

Решение. Проверим, выполняются ли соответствующие аксиомы:

1) , так как

, так как

=

, так как

5) так как (свойство определённого интеграла), причём интеграл обращается в ноль только при .

Ответ: пространство с заданным произведением векторов является евклидовым.

Пример 14. Проверим, можно ли в пространстве арифметических векторов задать скалярное произведение следующим образом:

А) , где и - векторы пространства

B) ,, где и - векторы пространства .

Решение. А) Проверим, выполняются ли аксиомы для данного произведения.

1) - выполнена;

2) выполнена;

3) - выполнена;

4) - выполнена.

Ответ: так как все аксиомы выполнены, в пространстве таким образом можно задать скалярное произведение.

B) Проверим выполнение аксиом для данного произведения:

1) – выполнена;

2) выполнена;

3) – выполнена;

4) может быть меньше нуля, поэтому аксиома не выполняется.

Ответ: данное произведение векторов не является скалярным.

Замечание. Линейное пространство арифметических векторов

будет являться евклидовым, если скалярное произведение любых двух его векторов в ортонормированном базисе определить следующим образом

Задачи для самостоятельной работы.

1. Проверьте, образует ли линейное пространство множество геометрических векторов, отнесённых к общему началу 0, концы которых принадлежат зафиксированной прямой, не проходящей через точку 0. Ответ: нет.

2. Выясните, является ли линейно зависимой система следующих векторов линейного пространства : . Ответ: да.

3. Выясните, является ли линейно зависимой система следующих векторов линейного пространства : . Ответ: нет.

4. В линейном пространстве многочленов степени не выше третьей выбраны два базиса и . Составьте матрицу перехода от первого базиса ко второму и с её помощью разложите многочлен по степеням . Ответ:

5. Убедитесь в том, что в линейном пространстве векторы , , образуют базис и найдите координаты вектора в этом базисе. Ответ:

6. Выясните, можно ли в арифметическом пространстве определить скалярное произведение векторов, где и следующим образом: а) . Ответ: можно.

б) . Ответ: нельзя, так как аксиома не выполняется.