Определение линейного оператора

Определение. Закон, по которому каждому вектору линейного пространства L ставится в соответствие вектор пространства , являющегося подпространством L, называется оператором .

То есть оператор отображает пространство L на

При этом вектор называют образом вектора , а вектор - прообразом .

Отображение (отображающее пространство на себя) называется преобразованием пространства L.

Определение. Оператор, отображающий пространство L на пространство , называется линейным оператором, если выполняются следующие условия:

где (10)

Пример 15. Рассмотрим пространство V₂ геометрических векторов, компланарных некоторой плоскости. Действие оператора заключается в повороте этого пространства вокруг некоторой прямой, перпендикулярной плоскости на угол φ. Является ли этот оператор линейным?

Решение. Проверим, выполняются ли условия (10) линейности оператора.

Отнесем все векторы пространства к точке пересечения заданной прямой и плоскости.

Теперь векторы будут принадлежать нашей плоскости.

а) Если и -векторы пространства V₂ , т.е. они принадлежат плоскости, то сумма + - вектор, построенный, например, по правилу параллелограмма, тоже принадлежит этой плоскости. При повороте V₂ на угол φ вокруг точки 0 не происходит никакой деформации, поэтому взаимное расположение образов

,

окажется таким, что будет вектором, направленным по диагонали параллелограмма, построенного на векторах как на сторонах.

.

б) Аналогично, вектор . Так как вектор , начало которого совпадает с точкой 0, без деформации повернётся вместе с плоскостью V₂ на угол φ.

Оба условия линейности выполнены.

Ответ: данный оператор является линейным.

Пример 16. Выясним, является ли линейным оператор проектирования пространства V₂ геометрических векторов, компланарных некоторой плоскости, на некоторую прямую l с направляющим вектором V₂.

Решение. Проверим, выполняются ли условия линейности данного оператора

(см. (10)).

а) Подвергнем действию данного оператора сумму двух векторов и .

Проекция вектора на прямую – есть проекция вектора на . По свойству проекций .

Так как , образом вектора является вектор принадлежащий l. Длина образа . Отсюда следует, что вектор , где - единичный вектор, являющийся направляющим для прямой l.

б) Аналогично,

И тогда

- одно условие выполнено.

Аналогично,

Ответ: данный оператор является линейным.

Пример 17. Выясним, является ли линейным оператор, действующий в V₃ так, что , где - заданный ненулевой вектор.

Решение. Проверим, выполняются ли условия линейности оператора (см. (10))..

Найдём образ суммы двух векторов пространства V₃ .

,

Образ суммы не равен сумме образов.

Ответ: данный оператор не является линейным.

Замечание. Нулевой оператор является линейным.

Единичный оператор является линейным.