Переход от одного базиса линейного пространства к другому

Если в линейном пространстве выбраны два базиса и

,то между ними существует связь, задаваемая матрицей перехода U. Эта матрица составляется следующим образом:

а) каждый вектор разлагается по векторам базиса :

b) полученные координаты векторов выписываются по порядку в столбцы матрицы (4)

И если в базисе вектор ,

а в базисе вектор то

этому вектору в каждом базисе можно поставить в соответствие матрицу-столбец

и . Тогда связь между координатами вектора в эти х базисах выражается формулой

. (5)

Свойства матрицы перехода.

1. Матрица перехода U невырожденная, т. е.

2. Матрица перехода U обратима, то есть существует обратная матрица .

3. Если U - матрица перехода от базиса к базису ,

то - матрица перехода от к .

4. Если в линейном пространстве выбраны три базиса и

– матрица перехода от , а – матрица перехода от , то матрица перехода от равна .

Пример 9. Рассмотрим множество многочленов порядка не выше второго

Это множество является линейным пространством (см. пример 4).

Выберем в нём два базиса и таких, что

и

Составим матрицу перехода от к (см.(4))

a) Выразим каждый вектор в базисе .

+1

+0

b) Полученные координаты выпишем в соответствующие столбцы матрицы.

– матрица перехода от к .

c) Используя матрицу перехода, представим многочлен как многочлен по степеням .

Данному вектору в базисе соответствует вектор

или матрица – столбец

В базисе вектору поставим в соответствие матрицу-столбец , чьи элементы мы должны найти. Связь между матрицами имеет вид (см.(5)).

Отсюда следует . Вычислим обратную матрицу.

. И теперь .

То есть, в новом базисе

Откуда следует ответ: .

Пример 10. Найдём какой-либо базис арифметического пространства

Решение. Рассмотрим следующую систему векторов :

, , ……,

То есть, таковы, что их координаты

Матрица , составленная из координат этих векторов, имеет . Следовательно, векторы линейно независимы.

Из свойств линейных операций с векторами следует, что любой вектор

.

По определению (см. (3)) выбранная система является базисом пространства Этот базис называется стандартным или каноническим.

Пример 11. В пространстве заданы векторы , , и вектор . Убедимся в том, что система векторов тоже является базисом пространства и найдем в нём координаты вектора

Решение. 1) Составим определитель из координат векторов и вычислим его.

строки определителя линейно независимы векторы линейно независимы. В пространстве они образуют базис.

2) Если U – матрица перехода от исходного базиса к новому и вектору в старом базисе соответствует матрица –столбец , а в новом базисе –

, то (см.(5)).

Составим матрицу перехода (см.(4)). .

Для нахождения решим матричное уравнение (5) .

Вычислим обратную матрицу , где - присоединённая матрица для .

. Теперь .

Ответ: в новом базисе вектор имеет координаты