Линейная зависимость векторов

Определение. Система векторов линейного пространства

называется линейно независимой, если линейная комбинация этих векторов обращается в нуль-вектор только лишь при всех коэффициентах, равных нулю, т. е.

только при .

Определение. Система векторов линейного пространства называется линейно зависимой, если их линейная комбинация может обратиться в нуль-вектор при хотя бы одном коэффициенте, отличном от нуля, т. е. возможно при . (1)

Теорема (Критерий линейной зависимости системы векторов).

Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из них можно представить как линейную комбинацию остальных. (2)

Пример 7. Выясним, является ли линейно зависимой система векторов

линейного пространства .

Решение. Составим линейную комбинацию данных векторов и приравняем ее нулю.

(см.(1))

Вопрос заключается в том, можно ли подобрать такие коэффициенты , не все равные нулю, чтобы это равенство было тождественно верным. Используя свойства логарифмов, преобразуем равенство следующим образом:

или

Очевидно, что равенство выполняется, если

.

Отсюда следует, что можно подобрать коэффициенты, не все равные нулю, например,

, при которых линейная комбинация данных векторов тождественно обратится в ноль. По определению данная система векторов является линейно зависимой.

Пример 8. Проверим, является ли линейно зависимой следующая система векторов арифметического пространства :

.

Решение. Если составить матрицу, элементы строк которой есть координаты соответствующих векторов, и найти её ранг, то по теореме о базисном миноре строки, элементы которых составляют базисный минор (а, следовательно, соответствующие векторы данной системы) линейно независимы, а остальные строки являются их линейными комбинациями. Вычислим ранг матрицы, составленной из координат векторов.

= Rg =

=Rg

Линейно независимыми являются только два вектора и , а есть их линейная комбинация. Из теоремы (см.(2)) следует, что данная система векторов линейно зависимая.

Определение. Базисом линейного пространства L называется такая упорядоченная система линейно независимых векторов, что любой вектор линейного пространства может быть представлен как их линейная комбинация.