![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пример 3. Является ли множество многочленов степени k с обычными операциями сложения многочленов и умножения многочлена на число линейным пространством?
Решение. Многочлен степени k имеет вид
, где
.
Суммой двух многочленов степени k является многочлен, степень которого может быть либо равна k, либо окажется меньше k. Так, например, для k =2, если
и
, то сумма
не принадлежит данному множеству.
Ответ: данное множество не является линейным пространством.
Пример 4. Является ли множество многочленов степени, не превосходящей k, линейным пространством?
Решение. Дано множество .
Сумма двух любых векторов этого множества
- есть многочлен, степень которого не выше k, то есть,
. Таким образом,
- вектор, принадлежащий данному множеству:
.
Произведение вектора и числа
:
- многочлен, степень которого равна либо m, либо 0, если
, то есть,
Ответ: множество многочленов степени, не превосходящей k, является линейным пространством.
Пример 5. Является ли линейным пространством множество матриц A одного и того же размера m x n?
Решение. Суммой двух матриц одного размера является матрица того же размера.
Amxn +Bmxn=Cmxn, где элементы .
Произведение матрицы на число есть матрица того же размера λAmxn=Dmxn, где .
Свойства линейных операций с матрицами совпадают с аксиомами линейного пространства.
Ответ: данное множество является линейным пространством.
Пример 6. Является ли линейным пространством множество одностолбцовых матриц размера , элементы которых неотрицательны?
Решение. Суммой двух матриц данного пространства Amx1 и Bmx1 является матрица Cmx1 такого же размера с неотрицательными элементами, то есть сумма элементов в этом пространстве определена. Произведением матрицы A из положительных элементов на число является матрица λAmx1=Dmx1 того же размера, но если число λ<0, то элементы матрицы D окажутся отрицательными, т. е. произведение матрицы на отрицательное число не принадлежит этому пространству.
Ответ: данное множество не является линейным пространством.
Замечание. Рассмотрим пространство элементов, каждый из которых является упорядоченным набором n действительных чисел . Если операции сложения и умножения на число определить следующим образом:
и
,
то выполняются все аксиомы линейного пространства. Нуль-вектором является . Рассматриваемое пространство является линейным и называется арифметическим пространством
.
Дата публикования: 2014-12-28; Прочитано: 414 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!