Такое пространство принято обозначать

Пример 3. Является ли множество многочленов степени k с обычными операциями сложения многочленов и умножения многочлена на число линейным пространством?

Решение. Многочлен степени k имеет вид

, где .

Суммой двух многочленов степени k является многочлен, степень которого может быть либо равна k, либо окажется меньше k. Так, например, для k =2, если
и , то сумма

не принадлежит данному множеству.

Ответ: данное множество не является линейным пространством.

Пример 4. Является ли множество многочленов степени, не превосходящей k, линейным пространством?

Решение. Дано множество .

Сумма двух любых векторов этого множества

- есть многочлен, степень которого не выше k, то есть, . Таким образом, - вектор, принадлежащий данному множеству: .

Произведение вектора и числа : - многочлен, степень которого равна либо m, либо 0, если , то есть,

Ответ: множество многочленов степени, не превосходящей k, является линейным пространством.

Пример 5. Является ли линейным пространством множество матриц A одного и того же размера m x n?

Решение. Суммой двух матриц одного размера является матрица того же размера.

A_mxn +B_mxn=C_mxn, где элементы .

Произведение матрицы на число есть матрица того же размера λA_mxn=D_mxn, где .

Свойства линейных операций с матрицами совпадают с аксиомами линейного пространства.

Ответ: данное множество является линейным пространством.

Пример 6. Является ли линейным пространством множество одностолбцовых матриц размера , элементы которых неотрицательны?

Решение. Суммой двух матриц данного пространства A_mx1 и B_mx1 является матрица C_mx1 такого же размера с неотрицательными элементами, то есть сумма элементов в этом пространстве определена. Произведением матрицы A из положительных элементов на число является матрица λA_mx1=D_mx1 того же размера, но если число λ<0, то элементы матрицы D окажутся отрицательными, т. е. произведение матрицы на отрицательное число не принадлежит этому пространству.

Ответ: данное множество не является линейным пространством.

Замечание. Рассмотрим пространство элементов, каждый из которых является упорядоченным набором n действительных чисел . Если операции сложения и умножения на число определить следующим образом:

и ,

то выполняются все аксиомы линейного пространства. Нуль-вектором является . Рассматриваемое пространство является линейным и называется арифметическим пространством .