Линейное пространство

Определение. Множество элементов называется линейным пространством L, а сами элементы его векторами, если

1) определён закон, по которому любым двум векторам и этого множества однозначно соответствует третий вектор, называемый их суммой ,

2) определён закон, по которому каждому вектору этого множества и числу ставится в соответствие единственный вектор, называемый произведением вектора на число: ,

3) определённые этими законами операции сложения векторов и умножения вектора на число удовлетворяют следующим аксиомам:

а) ,

б) ,

в) в пространстве существует нуль- вектор , такой, что для любого ,

г) для каждого вектора в пространстве существует

«противоположный» ему вектор , такой, что ,

д) ,

е) ,

ж) ,

з) .

Замечание. Если произведение вектора и числа определено только для действительных чисел, то пространство называется действительным линейным пространством.

Далее мы будем рассматривать только действительные линейные пространства.

Пример 1. Убедимся в том, что множество геометрических векторов V₃ является линейным пространством.

Решение. Действительно, если и , то сумма векторов

есть вектор этого же пространства. И произведение - тоже вектор пространства V_3.

Аксиомы линейного пространства в этом случае совпадают со свойствами линейных операций с геометрическими векторами.

Аналогично можно показать, что пространство V₁ всех геометрических векторов, коллинеарных заданному ненулевому вектору, и пространство V₂ всех векторов, компланарных заданной плоскости являются линейными.

Пример 2. Является ли множество функций , непрерывных на некотором отрезке , с обычными операциями сложения функций и умножения функции на число линейным пространством?

Решение. Если две функции непрерывны на отрезке , то их сумма есть функция, непрерывная на этом отрезке, и произведение непрерывной функции на число есть также непрерывная функция. Аксиомы линейного пространства в этом случае следуют из свойств сложения функций и их умножения на число.

Ответ: данное множество является линейным пространством.