Упражнение 78

Если (V,j) невырожденно и базис (e₁, e_2,…,e_n) ортогонален, то коэффициенты разложения любого вектора v по этому базису могут быть вычислены по формуле:
(13)

В симплектическом случае мы обеспечены наличием симплектического базиса (e₁,e_2,…,e_k,e_k+1,…,e_2k,e_2k+1,…,e_n), для которого j(e_i,e_k+i)=-j(e_k+i,e_i)=1, i=1,2,…,k, а все остальные j(e_i,e_j)=0.
Упражнение 79.
Почему обеспечены? Как выглядят матрицы Грама в ортонормированных и в симплектических базисах? Каковы их ранги?
Почему невырожденное симплектическое пространство обязательно чётномерно?

Def. При х=у билинейная j(х,у) превращается в y(х)=j(х,х) и называется квадратичной формой. Итак, квадратичной формой называется такое y: V®F, для которого существует билинейная форма j: V´V®F, такая что y(х)=j(х,х) "хÎV.