![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Докажите, что " квадратичной y(х) $! симметрическая j(х,у) (называемая поляризацией y)
такая, что y(х)=j(х,х) "хÎV. (hint: just express j(х,у) through y(х), y(y) and y(х+y)). From this exercise one can easily see once more how to solve the ex. #60.
Поскольку, таким образом, установлена биекция между квадратичными и симметрическими билинейными формами, то ортогональные геометрии можно рассматривать как геометрии (V, y), где y(х) – квадратичная форма. Если х =х1 е1 + х2 е2 +…+ хn еn, тоy(х)= , где аij=j(ei,ej)=аji. Теоремы классификации означают, что невырожденной линейной заменой переменных квадратичную форму можно привести к сумме квадратов y(х)=
, где аi=0 или ±1. Числа k0, k+ и k- нулей, единиц и -1 среди коэффициентов аi определены однозначно и составляют сигнатуру исходной квадратичной формы; сумма k++k- является её рангом.
До сих пор мы доказывали существование таких базисов для разных видов полуторалинейных форм, в которых они имеют наиболее простой, или, точнее, удобный вид. Мы не указывали, однако, никакого алгоритма нахождения такого базиса или замены переменных, приводящих, например, квадратичную форму к сумме квадратов. Сейчас мы займёмся такими процедурами.
Итак, мы имеем квадратичную форму y(х)= .
Случай А): имеется некоторый ненулевой коэффициент на диагонали матрицы (аij). Можем считать, что это а11. Тогда y(х)= а11 +х1(2а12х2+…+2а1nxn)+y1(x2,…,xn). Выделяя полный квадрат и делая замену у1=х1+(а12х2+…+а1nxn):а11; у2=х2;…;уn=xn, получим в новых переменных форму а11
+y2(у2,…,уn). Далее применяем ту же процедуру к y2(у2,…,уn).
Случай Б): все диагональные элементы матрицы (аij) нулевые.
Тогда, если нужно, перенумеровав переменные, будем иметь а12¹0.
Тогда y(х)=2а12х1х2 +х1f1(х3…xn)+х2f2(х3…xn))+y3(x3,…,xn), где f1 и f2 – линейные, а y3 - квадратичная. Введём новые переменные х1=у1+у2; х2=у1-у2; у3=х3;…;уn=xn.
Дата публикования: 2014-11-28; Прочитано: 210 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!