Упражнение 80

Докажите, что " квадратичной y(х) $! симметрическая j(х,у) (называемая поляризацией y)
такая, что y(х)=j(х,х) "хÎV. (hint: just express j(х,у) through y(х), y(y) and y(х+y)). From this exercise one can easily see once more how to solve the ex. #60.

Поскольку, таким образом, установлена биекция между квадратичными и симметрическими билинейными формами, то ортогональные геометрии можно рассматривать как геометрии (V, y), где y(х) – квадратичная форма. Если х =х₁ е₁ + х₂ е₂ +…+ х_n е_n, тоy(х)= , где а_ij=j(e_i,e_j)=а_ji. Теоремы классификации означают, что невырожденной линейной заменой переменных квадратичную форму можно привести к сумме квадратов y(х)= , где а_i=0 или ±1. Числа k₀, k₊ и k_- нулей, единиц и -1 среди коэффициентов а_i определены однозначно и составляют сигнатуру исходной квадратичной формы; сумма k₊+k_- является её рангом.

До сих пор мы доказывали существование таких базисов для разных видов полуторалинейных форм, в которых они имеют наиболее простой, или, точнее, удобный вид. Мы не указывали, однако, никакого алгоритма нахождения такого базиса или замены переменных, приводящих, например, квадратичную форму к сумме квадратов. Сейчас мы займёмся такими процедурами.

Итак, мы имеем квадратичную форму y(х)= .
Случай А): имеется некоторый ненулевой коэффициент на диагонали матрицы (а_ij). Можем считать, что это а₁₁. Тогда y(х)= а₁₁ +х₁(2а₁₂х₂+…+2а_1nx_n)+y₁(x₂,…,x_n). Выделяя полный квадрат и делая замену у₁=х₁+(а₁₂х₂+…+а_1nx_n):а₁₁; у₂=х₂;…;у_n=x_n, получим в новых переменных форму а₁₁ +y₂(у₂,…,у_n). Далее применяем ту же процедуру к y₂(у₂,…,у_n).

Случай Б): все диагональные элементы матрицы (а_ij) нулевые.
Тогда, если нужно, перенумеровав переменные, будем иметь а₁₂¹0.
Тогда y(х)=2а₁₂х₁х₂ +х₁f₁(х₃…x_n)+х₂f₂(х₃…x_n))+y₃(x₃,…,x_n), где f₁ и f₂ – линейные, а y₃ - квадратичная. Введём новые переменные х₁=у₁+у₂; х₂=у₁-у₂; у₃=х₃;…;у_n=x_n.