Упражнение 59

А теперь проверьте, что j(y+z,x)¹j(x,y+z). Выведите отсюда, что вектор у всё-такиизотропен (противоречие). Итак, вами доказано утверждение, (почти) обратное к упр. 55:
Если некоторая билинейная форма симметрична относительно ортогональности т.е.j(х,у)=0Þj(у,х)=0, то она либо симметрическая, либо кососимметрическая.

Упражнение 60. Докажите, что любую билинейную форму можно разложить в сумму двух форм: симметрической и кососимметрической.

План нашего дальнейшего изучения 1,5 и 2-ЛФ таков: сначала посмотрим, что они собой представляют в маломерных случаях, а затем попробуем многомерные пространства разложить в прямую сумму маломерных, в которых поведение этих форм уже изучено. Собственно, таков общий принцип изучения и других объектов.

Поскольку свойства геометрий существенно разнятся, в зависимости от типов форм, проведём наше исследование отдельно для каждого случая.

А) V -ортогональное пространство, dimV=1.

Любой ненулевой вектор v порождает V, является его базисом, и симметрическая форма
j: V´V®F определяется её значением на v. Если j не тождественно нулевая, то j(v,v)=а¹0. Соответственно, для х= х v и у= у v j(х, у)=а²ху. Таким образом, на одномерных пространствах j не тождественно нулевая Û j невырожденная. Рассмотрим подмножество М мультипликативной группы F* обратимых элементов поля F (т.е. всех вообще, кроме нуля), состоящее из всех квадратов: mÎM Ûm=z², zÎF*.

Упражнение 61.
Докажите, что М – подгруппа (мультипликативная, естественно) группы F*.

Упражнение 62*.
Докажите, что существует биекция между смежными классами аМ и различными
(не изометричными) 1,5 и 2-ЛФ на одномерных ВП а именно:
Пусть dimV=dimW=1, V порождается вектором v, а W порождается вектором w (то есть, V=F v, W=F w) и j(v, v)=а, y(w, w)=b. Пусть, далее, M=(F*)².
Тогда aM=bM Û существует изометрия f: (V,j)®(W,y).

Для F=R M=(R*)²=R₊ - группа всех положительных вещественных чисел и
F*/ F*²={1,-1}. Для F=С M=(C*)²=C*; C*/ C*²={1}.

Поэтому существуют лишь три не изометричных одномерных ортогональных пространства над R, задаваемых в координатах произведениями ху, -ху и 0 и два не изометричных одномерных ортогональных пространства над С: задаваемых произведениями ху, и 0.
Как видите, ответ существенно зависит от свойств поля F: чем больше фактор-группа F/(F*)², тем больше неизоморфных одномерных ортогональных пространств. Скажем, исследование для случая F=Q уже могло бы стать темой вашей проектной работы.
В) V -эрмитово, dimV=1.
Упражнение 63*.

Проведите анализ этого случая самостоятельно, по аналогии с предыдущим. В качестве полезного совета рекомендуем убедиться, что значения эрмитовой j(v, v) вещественны " v.

Ответ будет такой же, как для симметрических билинейных форм над R: ; - и 0.

Для симплектических пространств придётся повысить размерность V до двух, ибо (по крайней мере, для R и С) любая кососимметрическая форма на одномерном пространстве тождественно равна нулю: все вектора в симплектических пространствах изотропны. Обратное этому утверждение вы уже доказывали (в том числе, в упр. 57).

Упражнение 64. Докажите это (утверждение, набранное курсивом).
Итак, С) V - симплектическое, dimV=2.
Упражнение 65.
Докажите, что(V,j) вырождено Þ j нулевая.
Пусть теперь j не нулевая, и, стало быть, невырожденная. Тогда

Упражнение 66.
В(V,j) найдётся базис (е₁, е₂) в котором матрица Грама формы j имеет вид: .

Итак, любое двумерное симплектическое пространство над R или над С изометрично пространству с формой, заданной в координатах выражением х₁у₂-х₂у₁ (или равной 0).
В общем-то, это верно для всех полей, кроме тех, в которых 2х=0 "х.

Переходим ко второму пункту программы: разложению в прямую сумму одномерных или двумерных подпространств. Напомним вначале некоторые определения.
Пусть имеем (V,j) и его подпространство WÍV. Ограничение j на W обладает всеми своими свойствами (остаётся билинейным, полуторалинейным, симметрическим, кососимметрическим или эрмитовым в зависимости от того, каковым оно было в V).

Назовём W невырожденным или, соответственно, изотропным, если ограничение j на W невырожденно или, наоборот, равно нулю. Ортогональным дополнением к W называется подпространство W^{^}ÍV, состоящее из всех векторов, ортогональных W: W^{^}={vÎV½j(v,w)=0 "wÎW}. А теперь откроем летний конспект «Vector Spaces-I» на стр.10 и сверим терминологию. Там билинейная форма задавалась над разными (более общая ситуация) ВП, V и W, (но над одним и тем же полем К) и обозначалась как á*,*ñ.

У нас же либо W=V, либо W= (в эрмитовом случае; означает, что поле С комплексных чисел, над которым V есть ВП, снабжено автоморфизмом a®`a, так что a v ®`a v), и форма обозначается как j(*,*).

Пусть теперь на V задана билинейная или 1,5 линейная форма и W –подпространство V, WÍV. Глядя на упражнения №№53-56 (и, особенно, на №56), переобозначая в соответствии с задачей названия ВП, и рассмотрев сужение формы на W, т.е., рассмотрев билинейную форму на W´V (или на W´ ) показать, что всегда, когда V конечномерно, то

Упражнение 67.
W+W^{^}=V. Если же форма невырождена на W, то V=WÅ W^{^}.
А если ещё она к тому же и на W^{^} невырождена, то (W^{^})^{^}=W.
Упражнение 68.

Приведите примеры, когда
а) форма на V вырождена, а на WÍV – невырождена и когда
б) форма на V невырождена, а на WÍV – не то, что вырождена, а вообще – нулевая!

Упражнение 67 открывает двери для доказательства индукцией по dimV следующей важной теоремы:
Упражнение 69*.
ПустьV - конечномерно, ортогональное, симплектическое или эрмитово.
Тогда его можно разложить в прямую сумму V=V₁Å V₂Å …ÅV_n, (12)

попарно ортогональных подпространств, одномерных в ортогональном и эрмитовом случае и вырожденных одномерных или невырожденных двумерных в симплектическом случае.
Единственный тонкий момент здесь встречается лишь в эрмитовом случае, где из допущения, что j(v,v)=0 "vÎV не следует сразу, что форма нулевая, а следует лишь, что
0=j(v+w,v+w)=2Rej(v,w). То есть, форма принимает лишь чисто мнимые значения: j(v,w)=ir, где rÎR. Но тогда, допустив, что r¹0, придите к противоречию, рассмотрев значение эрмитовой формы на векторах (ir)^-1 v и w.

Пусть мы имеем (V,j), V₀=kerj, dimV=n, dimV₀=n₀. Если форма j симметрическая над F=R или эрмитова над F=C, то введём ещё два целых неотрицательных числа: n₊ и n_- - числа одномерных подпространств в некотором разложении V, на которых j соответственно положительна или отрицательна в соответствии с упражнениями 62, 63 и 69.

Мы хотим убедиться в том, что эти числа – инварианты (V,j) и не зависят от разложения V. Серия упражнений №№ 73-77 призвана удостоверить вас в том, что в этих случаях набор (n₀,n₊,n_-), называемый сигнатурой определяет пространство с точностью до изометрии.

Упражнение 70.
Пусть (V,j) – эрмитово или ортогональное пространство над полем С.
Пусть - его разложение на одномерные, взаимно ортогональные подпространства, гарантированное упражнением-теоремой 69. Пусть V₀=kerj - ядро j, а W_r= - прямая сумма тех одномерных подпространств в этом разложении, на которых форма j вырождена. Очевидно, что W_rÍV₀. Докажите, что на самом деле W_r=V₀. (hint: assume the opposite.)
Тем самым будет доказано, что число n₀=dim kerj совпадает с числом одномерных подпространств в этом разложении, на которых форма j вырождена.