Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Упражнение 54



Проверьте, что отношение ортогональности для векторов и для подпространств симметрично для симметрических, симплектических и эрмитовых форм. Обратное утверждение отнюдь не столь тривиально, в чём вы скоро убедитесь.
Проверьте, что невырожденность формы j равносильна, как невырожденности её матрицы Грама (в любом базисе), так и изоморфизму индуцированного ею линейного отображения j*: V®V* (см. упр.52). Def. Рангом формы j называется dim Imj*, или, что одно и то же, ранг матрицы Грама формы j.

Def. Изометрией двух ЛП V1 и V2 над одним и тем же полем F, снабжённых формами j1 и j2 соответственно, называется линейный изоморфизм f: V1®V2, сохраняющий значения форм: j2(f(x),f(y))=j1(x,y) "x,yÎV1. Если между двумя пространствами существует изометрия, то они называются изометричными.

Упражнение 55. Является ли изометрия отношением эквивалентности?

Def. Вектор называется изотропным, если он ортогонален самому себе, т.е., если j(х,х)=0.В следующей серии упражнений дана билинейная форма j: V´V®F, симметричная относительно ортогональности, т.е.j(х,у)=0Þj(у,х)=0.
Упражнение 56.

Рассмотрим тройку векторов x, y, z. Проверьте, что j(х, j(x,y) z -j(x,z) y)=0.

Выведите отсюда, что " x, y, V j(x,y)×j(z,x)= j(y,x)×j (x,z).

Выведите отсюда, что, если j(z,x)¹j(x,z), то вектора х и z изотропны.





Дата публикования: 2014-11-28; Прочитано: 251 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2025 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.007 с)...