Упражнение 54

Проверьте, что отношение ортогональности для векторов и для подпространств симметрично для симметрических, симплектических и эрмитовых форм. Обратное утверждение отнюдь не столь тривиально, в чём вы скоро убедитесь.
Проверьте, что невырожденность формы j равносильна, как невырожденности её матрицы Грама (в любом базисе), так и изоморфизму индуцированного ею линейного отображения j*: V®V* (см. упр.52). Def. Рангом формы j называется dim Imj*, или, что одно и то же, ранг матрицы Грама формы j.

Def. Изометрией двух ЛП V₁ и V₂ над одним и тем же полем F, снабжённых формами j₁ и j₂ соответственно, называется линейный изоморфизм f: V₁®V₂, сохраняющий значения форм: j₂(f(x),f(y))=j₁(x,y) "x,yÎV₁. Если между двумя пространствами существует изометрия, то они называются изометричными.

Упражнение 55. Является ли изометрия отношением эквивалентности?

Def. Вектор называется изотропным, если он ортогонален самому себе, т.е., если j(х,х)=0.В следующей серии упражнений дана билинейная форма j: V´V®F, симметричная относительно ортогональности, т.е.j(х,у)=0Þj(у,х)=0.
Упражнение 56.

Рассмотрим тройку векторов x, y, z. Проверьте, что j(х, j(x,y) z -j(x,z) y)=0.

Выведите отсюда, что " x, y, zÎ V j(x,y)×j(z,x)= j(y,x)×j (x,z).

Выведите отсюда, что, если j(z,x)¹j(x,z), то вектора х и z изотропны.