Упражнение 72

Пусть теперь (V₁,j₁) и (V₂,j₂) – два пространства, либо оба симплектические над одним и тем же полем F, либо оба ортогональные над полем С. Докажите, что они изометричны Û размерности как самих пространств, так и ядер их 1,5-линейных форм одинаковы.

Итак, подводя итоги упражнений №№70-72, мы можем сказать:

Пусть пространство (V,j) – симплектическое над полем F, или ортогональное над полем С.
Пусть V₀=kerj, dimV=n, dimV₀=n₀. Тогда набор из двух целых неотрицательных чисел (n,n₀) определяет пространство (V,j) с точностью до изометрии.

Пусть теперь (V¹,j₁) и (V²,j₂) – два пространства, либо эрмитовых над С, либо ортогональных над R. Пусть их сигнатуры – и в каких-то разложениях и . Допустим, что эти пространства изометричны.