Упражнение 52

Определим новое отображение : . Проверьте, что новое отображение также 1,5 линейно. Проверьте, что, если все отображения записаны матрицами в одном и том же базисе, то операциям j® и, в билинейном случае, j®j^t, соответствуют матричные преобразования А® и А®А^t соответственно.

Def. Билинейные j: V´V®F, такие, что j=j^t, называются симметричными, а также симметрическими. Они задаются симметричными матрицами Грама, а соответствующие им геометрии называются ортогональными.
Билинейные j: V´V®F, такие, что j=-j^t, называются антисимметричными, или кососимметрическими, или симплектическими. Им соответствуют антисимметричные матрицы Грама, а геометрии, ими определяемые, называются симплектическими.
Наконец, 1,5-линейные формы j такие, что j= называются эрмитовыми, равно, как и порождаемые им геометрии.

Как обычно, векторы х и у называются ортогональными, если j(х,у)=0. Соответственно, подпространства V₁ÍV и V₂ÍV называются ортогональными, если j(х,у)=0"хÎV₁,уÎV₂.

Ядром (kerj) формы j на V называется подпространство (кстати, почему это множество будет именно таковым?) тех векторов V, которые ортогональны всему V.

Форма называется невырожденной, если её ядро тривиально: kerj=0.