Упражнение 84*

Сигнатура формы j определяется числом положительных и отрицательных элементов в последовательности detM₁, detM₂:detM₁; detM₃:detM₂;…;detM_n:detM_n-1.

Def. Форма j называется положительно определённой, если j(х,х)>0 "xÎV, x¹0.

Её матрицы Грама также называются положительно определёнными.
Из предыдущего упражнения вытекает, что j положительно определёна Û все её detM_i положительны (Критерий Сильвестра).

Упражнение 85 *. (теорема Якоби)

Любую квадратичную симметрическую форму j с невырожденными диагональными минорами M_i над любым полем F можно линейными преобразованиями переменных привести к виду , detM₀=1.

До сих пор мы пытались вести изучение разных видов пространств параллельно, отмечая их сходства и общие свойства. Всё-таки, между ними имеются и существенные отличия, и сейчас мы приступаем к их раздельному, последовательному изучению. Вначале займёмся классикой, тем, что и является предметом изучения в программе по геометрии средней общеобразовательной школы.

3.3. Евклидовы пространства.

Def. Симметрическая положительно определённая форма называется скалярным произведением. [2] Конечномерноевещественное линейное пространство E, в котором задано скалярное произведение, называется евклидовым.
Принято скалярное произведение обозначать скобками, т.е., вместо j(х,у) писать просто (х,у). Число называется длиной вектора х и обозначается ||х||.
Из самого определения скалярного произведения следует, что в евклидовом пространстве длина любого ненулевого вектора положительна, а длина нулевого вектора равна нулю. Из предыдущих упражнений вытекает, что в евклидовом пространстве всегда имеется ортонормальный базис, в котором скалярное произведение имеет вид (х,у)= . Таким образом, евклидово n-мерное пространство Е изометрично координатному пространству Rⁿ, в котором длины векторов вычисляются по теореме Пифагора. "х,уÎЕ рассмотрим величину ||lх+у||² как функцию от l. По определению скалярного произведения она всегда неотрицательна. Сделав отсюда вывод о дискриминанте квадратичной функции, докажите знаменитую теорему Коши-Буняковского[3]:

Упражнение 86.
"х,у ÎЕ (х,у)£||х||×||у||.
Из этого неравенства вытекают далеко идущие следствия.
Ну, во-первых, докажите, что
Упражнение 87. Равенство в нём достигается Û х и у линейно зависимы.
Во-вторых, докажите, что имеет место неравенство треугольника:
Упражнение 88. ||х+у||£||х||+||у||
Def. Векторное пространство V (на этот раз не обязательно конечномерное) над полями R или С называется нормированным, если на нём определена такая функция ||. ||: V®R₊ называемая нормой, что
а) || 0 || =0; || х || >0 "x¹0
b) || ax || =½a½× || x || и
с) || х+у || £ || х || + || у || "х,у.
Def. Множество М с заданной на нём вещественной функцией r: М´М®R₊, обладающей следующими свойствами:
а) r(х,у)=r(у,х) (симметрия)
б) r(х,х)=0; r(х,у)>0 Û x¹y (положительная определённость)
в) r(х,z) £r(х,y)+r(y,z)(неравенство треугольника)
называется метрическим пространством, а функция r - метрикой.
Её значение на паре точек (х,у) называется расстоянием между точками х и у.
Определение, как видите, отвечает нашему интуитивному представлению о расстоянии.
Упражнение 89.
Пусть у вас имеется нормированное пространство V. Превратите его в метрическое, задав, на базе его нормы ||. ||, расстояние между точками-векторами пространства V (напоминаю, что, если считать все вектора стрелками, исходящими из одной точки 0, то их концы находятся во взаимно-однозначном соответствии с точками аффинного пространства). Проверьте, чтобы ваша метрика была инвариантна относительно сдвигов (если это окажется не так, то она доброго слова не стоит): r(х, у)=r(х + z, y + z).
Таким образом, понятие метрического пространства шире понятия нормированного (всякое нормированное является метрическим).

Упражнение 90. (обратное к предыдущему)
Пусть наоборот, у вас имеется векторное пространство V и заданная на нём метрика, инвариантная относительно сдвигов: r(х, у)=r(х + z, y + z) " x, y,z + к тому же ещё обладающая свойством (гомотетия увеличивает расстояния): r(a х,a у)=½a½r(х, y).
Задайте на нём норму, на основе этой метрики, и проверьте, что все требования, предъявляемые к норме, действительно выполняются.
Упражнение 91.
Проверьте, что длина вектора, введённая в начале этого параграфа, является нормой.

Таким образом, евклидовы пространства являются нормированными.

Для нормированных и для метрических пространств естественным образом определяются шары и сферы (границы шаров). На них (с помощью шаров) легко переносятся понятия «близко – далеко». Ими мы плотно займёмся в следующем году.
А теперь рассмотрим величину .
В силу упр.86 -1£l£1. Поэтому существует некий угол j, косинус которого равен как раз этому l: cosj=l. У нас уже имеется интуитивное понятие угла, чуть ли не с дошкольного возраста, а если бы и не было, то мы могли бы его сейчас определить таким образом. Вот есть два вектора, х и у в евклидовом пространстве.
С ними связана некая величина l, равная отношению их скалярного произведения к произведению их норм. Она (l) есть функция (cos) некоего аргумента (j), называемого углом между векторами х и у, определённая на промежутке 0£j£p таким образом, что cos0=1, cosp=-1, cos =0. Иными словами, – это угол между ортогональными векторами. Напротив, коллинеарны те и только те вектора, угол, между которыми составляет либо 0, либо p радиан.

Упражнение 92.
Докажите трёхмерный аналог теоремы Пифагора сначала обычными средствами: рассмотрением прямоугольного параллелепипеда и его главной диагонали (проекция и сведение к двумерному случаю), а затем её многомерного варианта прямо из данных выше определений: если векторы х₁, х₂,…,х_n попарно ортогональны, то квадрат их суммы (гипотенузы) равен их сумме квадратов (катетов): . Проверьте также, что в тождество превращается и теорема косинусов.
С этого момента эстафетную палочку дальнейшего изучения евклидовой геометрии можно передать геометрии, прежде всего её давно обещанной «французской части».