Упражнение №33

a) Пусть имеется вписанный пятиугольник ABCDE. Докажите, что точки пересечения прямых АЕ и DC, DE и BC, AB и касательной к окружности в точке D лежат на одной прямой;

b) Докажите, что прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания его вписанной окружностью противолежащей стороны, пересекаются в одной точке.

Рассмотрим треугольник АВС. Пусть О – центр его описанной окружности, E, D и F – середины его сторон, А₁, В₁, С₁ – основания его высот, Н – его ортоцентр, P, Q и R – середины отрезков АН, ВН и СН.

Упражнение №34.

Докажите, что

a) АР=OD, OE=BQ, OF=CR;

b) EDA₁F – равнобочная трапеция;

c) Окружность, проходящая через середины сторон треугольника, проходит также и через середины его высот;

d) PD служит диаметром как для окружности, проходящей через точки P, D и F, так и для окружности, проходящей через точки P, D и А₁.

e) Все девять точек E, R, D, A₁, Q, C₁, F, P и B₁ лежат на одной окружности. Эта окружность так и называется - окружностью девяти точек.
Пусть G=ADÇOH, M=PDÇOH. Тогда

f) GH=2OG, OM=OG.

g) M – Центр окружности девяти точек.

h) Радиус окружности девяти точек равен половине радиуса окружности, описанной около треугольника АВС.

i) G – точка пересечения медиан (центр масс) треугольника АВС.