Упражнение №75

На диагонали АС параллелограмма ABCD отмечена произвольная точка N и через вершину С проведена прямая параллельно BN до пересечения с продолжением стороны AD в точке Е. Докажите, что треугольники ANE и CDE равновелики.

Упражнение № 76**. (финал VI Олимпиады им. И.Ф. Шарыгина)

В равные углы Х₁ОУ и УОХ₂ вписаны окружности w₁ и w₂, касающиеся сторон ОХ₁ и ОХ₂ в точках А₁ и А₂ соответственно, а стороны ОУ – в точках В₁ и В₂. Прямая А₁В₂ пересекает второй раз окружность w₁ в точке С₁, а прямая А₂В₁ пересекает второй раз окружность w₂ в точке С₂. Докажите, что С₁С₂ – общая касательная к окружностям.

(Hint: first, prove that angular measure of ÈA₂B₂ is equal to the angular measure of ÈB₁A₁. Then find congruent triangles and prove, that A₁B₂=A₂B₁. Turn now to the properties of a secant and a tangent and come to B₂C₁=B₁C₂. Find out, that ÐA₂C₂B₂+ÐA₁C₁B₁=p and conclude, that B₁C₁B₂C₂ is inscribed isosceles trapezoid. Finally, remember about an angle between a chord and a tangent and the converse theorem)

Упражнение № 77**.
(из вступительных экзаменов на мехмат МГУ)

В треугольнике АВС сторона АВ=38, а медиана СМ=19 и наклонена к АВ под углом 40°. В этот треугольник вписали окружность. Найдите периметр треугольника, вписанного в эту окружность и подобного треугольнику АВС.

(It is beautiful problem and solves easily once you find a key idea. Remember, that in right triangle r=a+b-c and ab=hc, where h is the height, drawn from the vertex of the right anle. The answer is 38sin40°)