Упражнение №40

Снабдим чертёж упражнения №38 дополнительными построениями. Отметим середины отрезков, соединяющих центры трёх вневписанных окружностей О_А, О_В и О_С точками А₁, В₁ и С₁. Отметим середины отрезков, соединяющих центры трёх вневписанных окружностей О_А, О_В и О_С с центром вписанной окружности О буквами К₁, К₂ и К₃. Опустим из центров вневписанных окружностей О_А, О_В и О_С перпендикуляры О_АА₂, О_ВВ₂ и О_СС₂ на прямую ВС. На неё же опустим и перпендикуляр OD из центра вписанной окружности О. Тогда OD=r, О_АА₂=r₁, О_ВВ₂=r₂ и О_СС₂=r₃. Обозначим радиус описанной окружности треугольника АВС за R. Пусть Е=А₁К₁ÇВС. Докажите, что

a) A₁K₁=2R,

b) A₁K₁^BC,

c) A₁E=(r₂+r₃):2,

d) EK₁=(r₁-r):2

e) Выведите отсюда, наконец, тождество r₁+r₂+r₃-r=4R