Упражнение №42

a)

b)

Следующее утверждение не является новым, оно уже встречалось и доказывалось нами ранее, но времени с тех пор прошло достаточно, чтобы успеть его забыть и, помня, что повторение – мать учения, передокажем его снова, тем более, что оно и важно и полезно.

Упражнение №43. (Прямая Симсона)

Если из какой-либо точки окружности, описанной около треугольника, опущены перпендикуляры на его стороны, то основания этих перпендикуляров лежат на одной прямой;

Если основания перпендикуляров, опущенных из некоторой точки на стороны треугольника лежат на одной прямой, то эта точка лежит на окружности, описанной около треугольника.

Рассмотрим на плоскости конфигурацию из четырёх прямых, находящихся «в общем положении». Это значит, что никакая пара из них не параллельна и никакая тройка из них не инцидентна одной точке.

Такая конфигурация называется полным четырехсторонником.

В этой конфигурации присутствует один четырехугольник и четыре треугольника. Например, на рисунке это будут треугольники ABE, ACD, FBC и FED.

Упражнение №44.

Докажите, что все четыре окружности, описанные около этих треугольников пересекаются в одной точке.

Сейчас займёмся процедурой, которая приведёт нас к важному выводу из предыдущего упражнения, хотя носить она будет пока что неформальный характер. Формализовать её и превратить в строгое математическое рассуждение позволит топология, которую мы будем проходить в курсе алгебры (хотя она и относится в высшей математике к области геометрии). Начнём двигать прямую а (например) в сторону прямой d, не трогая остальные три прямых, так, что точка В приближается к точке С, а точка Е к точке D. Подумав, что при этом будет происходить с окружностями, и что должно получиться «в пределе», когда точки-таки сольются, получите следующий результат:

Упражнение №45.

a) Если две окружности, касающиеся разных сторон угла, пересекаются на окружности, проходящей через вершину угла и обе точки касания, то они пересекаются вторично на прямой, проходящей через точки касания;

b) Если две окружности, касающиеся разных сторон угла, пересекаются на прямой, проходящей через точки касания, то они пересекаются вторично на окружности, проходящей через вершину угла и обе точки касания.

Упражнение №46.

В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла проведена высота BD. Известно, что CD<AD. Точка МÎCD такова, что из отрезков AD, AM и BM можно составить прямоугольный треугольник. В каком отношении точка М делит отрезок CD?

Следующие 11 задач нам предстоит решать вместе, так как я не имел времени, чтобы над ними подумать. А, может быть, и все равно не решил бы, даже если бы и имел. Если они окажутся нам не под силу, мы их пропустим.

Упражнение №47.

Прямая, соединяющая основания высот, опущенных из двух вершин треугольника, перпендикулярна к радиусу описанного круга, проведённого к третьей вершине.

Упражнение №48.

Ортоцентр треугольника служит центром подобия его описанной окружности и окружности девяти точек.

Упражнение №49.

Если из какой-либо точки окружности построить три хорды и на них, как на диаметрах, построить три окружности, то вторые точки пересечения этих окружностей расположены на одной прямой. (Автор рекомендует опираться на прямую Симсона).

Упражнение №50. (Теорема Микеля)

На окружности отметили четыре точки, А, В, С и D. Через точки А и В, В и С, С и D, D и A провели четыре окружности. Вторые точки пересечения этих окружностей также лежат на одной окружности.

Упражнение №51.

Окружность, построенная на отрезке, соединяющим центры двух непересекающихся окружностей, как на диаметре, проходит через четыре точки пересечения внешних общих касательных к этим окружностям с их общими внутренними касательными.

Упражнение №52.

Докажите, что четырехугольники не определяются однозначно серединами их сторон, но все четырехугольники с данными серединами сторон равновелики.

Упражнение №53.

Докажите, что пятиугольник серединами его сторон определяется однозначно и укажите способ его построения.

Упражнение №54.

Построить точку, касательные из которой к двум заданным окружностям равны и составляют заданный угол.

(Автор рекомендует определить сначала на радикальной оси точку, которая вместе с исходной точкой и центрами окружностей образует вписанный четырехугольник).

Упражнение №55.

Построить окружность, диаметральную к заданной и проходящую через две заданные точки.

Упражнение №56.

Построить окружность так, чтобы касательные к нему из трёх заданных точек были бы конгруэнтны трём заданным отрезкам.

Упражнение №57.

Построить окружность так, чтобы она, пересекаясь с заданной окружностью, определила бы общую хорду, конгруэнтную заданному отрезку.

Упражнение №58 (C4)

На стороне ВА угла АВС, равного 30 градусам, взята точка D такая, что AD=2, BD=1. Найдите радиус окружности, касающейся прямой ВС и проходящей через точки А и D.