Упражнение №30

Пусть окружность О пересекает ортогонально окружности О₁ и О₂ в точках А и D соответственно, пересекая их ещё раз в точках В и С соответственно. Пусть М= О₁АÇО₂D.

a) Докажите, что в точках В и С окружность О также пересекает окружности О₁ и О₂ ортогонально;

b) Докажите, что М является центром окружности, касающейся окружностей О₁ и О₂ в точках А и D

c) Докажите, что и другие пары точек А и С, В и D, В и С являются точками касания окружностей О₁ и О₂ некоторыми окружностями. Где расположены их центры?

d) Покажите, что точка пересечения прямых АD и ВС является внешним центром подобия окружностей О₁ и О₂, а точка пересечения прямых АС и ВD является их внутренним центром подобия.

Упражнение №31. * (Теорема Паскаля)

Пусть на окружности О расположены 6 точек А, В, С, D, E и F, причём предположим, что никакая пара противоположных точек (А и D, B и E, C и F) не являются антиподальными, т.е., не явдляются концами одного диаметра. Соединив их, получим шестиугольник ABCDEF, возможно невыпуклый и самопересекающийся, как на рисунке.

Для каждой пары противоположных точек (А и D, B и E, C и F) построим окружности, ортогональные окружности О.

Докажите, что три прямые, содержащие три пары противоположных сторон шестиугольника, пересекаются в трёх точках, инцидентных одной прямой.