Упражнение №37

Докажите, что окружности девяти точек для треугольников АВС, АНС, ВНС и АНВ совпадают. Поэтому и радиусы их описанных окружностей равны.

А как найти их центры (окружностей, описанных около треугольников АНС, ВНС и АНВ)?

В каждой вершине треугольника АВС проведём пару прямых – биссектрис пар вертикальных углов, образуемых при этих вершинах прямыми, содержащими стороны треугольника. Тогда они сойдутся по три в четырех точках – центрах вписанной окружности О и трёх вневписанных окружностей, касающихся каждая всех трёх прямых, содержащих стороны треугольника. При этом прямые О_АА, О_ВВ и О_СС окажутся высотами треугольника О_АО_ВО_С, а точка О – его ортоцентром. Ортоцентром же, например, треугольника ОО_АО_В является точка О_С. Из вышеприведённого легко следует, что