Характеристический многочлен матрицы

Дана матрица A Î Р^{n ´ n} (или A Î R^{n ´ n}).

Определение 9.14. Характеристическим многочленом матрицы A называется многочлен, зависящий отλ и равный | A – l E |, т. е. многочлен f (λ) = | A – l E |, где E – единичная матрица таково же порядка что и А.

Пример 9.6. Найтихарактеристический многочлен матрицы A = .

Решение. Составим определитель матрицы A – l E и вычислим его

| A – l E | = = =

= (2 – λ)×(–1)^{2 + 2}× · = (2 – λ)((1 – l)(–1 – l) – 8) =

= (2 – λ)(λ – 3)(λ + 3).

Определение 9.15. Характеристическим уравнением матрицы A называется уравнение | A – l E | = 0.

Определение 9.16. Собственными значениями (собственными числами)матрицы A называются корни ее характеристического уравнения.

Найдем собственныезначенияматрицыиз примера 9.6:
(2 – λ)(λ – 3)(λ + 3) = 0. Получим: l₁ = 2, l₂ = 3, l₃ = –3.

Теорема 9.12. Характеристическиемногочленыподобных матриц равны.

Доказательство. Пусть матрицы А и В подобны, то есть А = T ^–1× В × Т. Тогда

| A – l E | = | T ^–1× В × Т – l T ^–1× Е × Т | = | T ^–1(В – l Е)× Т | = | T ^–1|×| В – l Е |×| Т | =
= | T ^–1|×| Т |×| В – l Е | = | T ^–1× Т |×| В – l Е | = | E |×| В – l Е | = 1×| В – l Е | = | В – l Е |.

Так как характеристические многочлены равны, то совпадают и множества собственных значений подобных матриц А и В.

Следствие. Характеристический многочлен матрицы линейного оператора не зависит от базиса, в котором найдена эта матрица (матрицы линейного оператора, найденные в различных базисах, подобны).