Нахождение собственных векторов линейного оператора

Для нахождения собственных векторов линейного оператора надо найтирешения уравненияj(х) = λ x, в котором неизвестными величинами являются собственные значенияλ линейного оператора j и ненулевыевекторы x.

Для нахождения собственных значений линейного оператора j используется следующая теорема.

Теорема 9.13. Множество собственных значений линейного оператора j совпадает с множеством собственных значений его матрицы.

Доказательство. Пустьλ – собственное значениелинейного оператора j. Это означает, что существуетненулевойвектор x, такой чтоj(х) = λ x. Из этого векторного равенства вытекают следующие матричные равенства:

[j(х)] = [λ x ] Þ M (j)[ x ] = λ[ x ] Þ M (j)[ x ] – λ E [ x ] = [0] Þ

(M (j) – λ E)[ x ] = [0]. (*)

Равенство (*) является матричной формой записи однородной системы линейных уравнений с основной матрицей M (j) – λ E, причем эта система по условию имеет ненулевые решения. Условие существования ненулевых решений – равенство нулю определителя основной матрицы системы, следовательно, выполнятся равенство: | M (j) – λ E | = 0, из которогоследует, чтоλ – собственноезначение матрицы M (j) линейного оператора j(х) = λ x.

Обратно,пустьλ – собственноезначение матрицы M (j) линейного оператора j, то есть | M (j) – λ E | = 0. Из этого равенства следует, что система однородныхлинейныхуравнений (*)имеет ненулевые решения. Следовательно,существуетненулевойвектор x, такой что j(х) = λ x иλ – собственное значениелинейного оператора j.