Ядро и образ линейного оператора

Ввекторном пространстве V над произвольным полем P задан линейныйоператор j.

Определение9.8. Ядром линейного оператора j называется множество векторов пространства V, образом которых является нулевой вектор. Принятоеобозначение для этого множества: Ker j, т. е.

Ker j = { x | j(х) = o }.

Теорема 9.7. Ядро линейного оператора является подпространством пространства V.

Определение 9.9. Размерностьядра линейного оператора называется дефектом линейного оператора. dim Ker j= d.

Определение 9.10. Образом линейного оператора j называется множество образоввекторов пространства V. Обозначение для этого множества Im j, т. е. Im j = {j(х) | х Î V }.

Теорема 9.8. Образлинейного оператора является подпространством пространства V.

Определение 9.11. Размерностьобраза линейного оператора называется рангом линейного оператора. dim Im j= r.

Теорема 9.9. Пространство V является прямой суммой ядра и образа заданного в нем линейного оператора. Сумма ранга и дефекта линейного оператора равна размерности пространства V.

Пример 9.3. 1) В пространстве R [ x ]_(£3) найти ранг и дефектоператорадифференцирования. Найдем те многочлены, производная которых равна нулю. Это многочлены нулевой степени, следовательно, Ker j= { f | f = c } и d = 1. Производные многочленов, степень которых не превосходит трех, образуют множество многочленов, степень которых не превосходит двух, следовательно, Im j= R [ x ]_(£2) и r =3.

2) Если линейныйоператор задан матрицей M (j), то для нахождения его ядра надо решитьуравнение j(х) = о, которое в матричной форме выглядит так: M (j)[ x ] = [ о ]. Изэтого следует, что базисом ядра линейного оператора является фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений с основной матрицей M (j). Систему образующих образа линейного операторасоставляют векторы j(e ₁), j(e ₂), …, j(e_n). Базис этой системы векторов дает базис образа линейного оператора.