Жорданова нормальная форма матрицы линейного оператора

10.1. Понятие λ-матрицы

Известно, что матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов приводится к диагональному виду. Однако над множеством действительных чисел линейный оператор может не иметь собственных значений, а значит и собственных векторов. Над множеством комплексных чисел любой линейный оператор имеет собственные векторы, но их может быть недостаточно для базиса. Есть другая каноническая форма матрицы линейного оператора, к которой можно привести любую матрицу над множеством комплексных чисел.

Теорема 10.1. Всякая матрица с комплексными элементами приводится во множестве комплексных чисел C к жордановой[14] нормальной форме.

Дадим необходимые определения:

Определение 10.1. Квадратная матрица порядка n, элементами которой служат многочлены произвольной степени от переменной λ с коэффициентами из множества комплексных чисел C, называется
λ- матрицей (или многочленной матрицей, или полиномиальной матрицей).

Примером многочленной матрицы служит характеристическая матрица A – λ E произвольной квадратной матрицы A. На главной диагонали стоят многочлены первой степени, вне ее – многочлены нулевой степени или нули. Обозначим такую матрицу как A (λ).

Пример 10.1. Пусть дана матрица A = , тогда A – λ E = = = A (λ).

Определение 10.2. Элементарными преобразованиями λ-матрицы называют следующие преобразования:

1. умножение любой строки (столбца) матрицы A (λ) на любое число, не равное нулю;

2. прибавление к любой i -той строке (i -ому столбцу) матрицы A (λ) любой другой j -ой строки (j -ого столбца), умноженной на произвольный многочлен j(l).

Свойства λ-матрицы

1) С помощью этих преобразований в матрице A (λ) можно переставить любые две строки или любые два столбца.

2) С помощью этих преобразований в диагональной матрице A (λ) можно менять местами диагональные элементы.

Пример 10.2. 1) ~ ~ ~ ~ .

2) ~ ~ .

Определение 10.3. Матрицы A (λ) и B (λ) называются эквивалентными, если от A (λ) можно перейти к B (λ) при помощи конечного числа элементарных преобразований.

Задача заключается в том, чтобы по возможности упростить матрицу A (λ).

Определение 10.4. Канонической λ- матрицей называется λ-матрица, обладающая следующими свойствами:

1) матрица A (λ) диагональная;

2) всякий многочлен е_i (l), i = 1, 2, …, n нацело делится на е_{i –1}(l);

3) старший коэффициент каждого многочлена е_i (l), i = 1, 2, …, n равен 1, или этот многочлен равен нулю.

A (λ) = .

Замечание. Если среди многочленов е_i (l) встречаются нули, то они занимают на главной диагонали последние места (по свойству 2), если есть многочлены нулевой степени, то они равны 1 и занимают на главной диагонали первые места.

Нулевая и единичная матрицы являются каноническими λ-матрицами.

Теорема 10.2. Всякая λ-матрица эквивалентна некоторой канонической λ-матрице (то есть она приводится элементарными преобразованиями к каноническому виду)

Пример 10.3. Привести матрицу A (λ) = к каноническому виду.

Решение. Ход преобразований аналогичен преобразованиям в методе Гаусса, при этом левый верхний элемент матрицы при приведении ее к каноническому виду отличен от нуля и имеет наименьшую степень.

A (λ) = ~ (меняем местами первый и второй столбцы) ~ ~ (к второму столбцу прибавляем первый столбец, умноженный на (l – 2)) ~ ~ (ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на (l – 2)) ~ ~ (меняем местами второй и третий столбцы) ~ ~ (к третьему столбцу прибавляем второй столбец умноженный на (l – 2)³) ~ ~ (к третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на (l – 2)) ~ .