Связь между координатами вектора и координатами его образа

В пространстве V задан линейный оператор j, а также в некотором базисе e ₁, e ₂, …, e_n найдена его матрица M (j). Пусть в этом базисе найдены координаты векторов x и j(x): [ x ] = , [j(x)] = . Установим связьмежду столбцами [ x ] и [j(x)].

j(х) = y ₁ e ₁ + y ₂ e ₂ + … + y_ne_n;

j(х) = j(x ₁ e ₁ + x ₂ e ₂ + … + x_ne_n) = x ₁j(e ₁) + x ₂j(e ₂) + … + x_n j(e_n) =
= x ₁(a₁₁ e ₁ + a₂₁ e ₂ + … + a _{n 1} e_n) + x ₂(a₁₂ e ₁ + a₂₂ e ₂ + … + a _{n 2} e_n) + …
… + x_n (a_{1 n} e ₁ + a_{2 n} e ₂ + … + a _nne_n) = (x ₁a₁₁ + x ₂a₁₂ + … + x_n a_{1 n} ) e ₁ +
(x ₁a₂₁ + x ₂a₂₂ + … + x_n a_{2 n}) e ₂ + … + (x ₁a _{n 1} + x ₂a _{n 2} + … + x_n a _nn) e_n.

Вектор j(x) разложен по векторам базиса e ₁, e ₂, …, e_n двумя способами, но в силу единственности такого разложениякоэффициенты при одинаковыхбазисныхвекторах можно приравнять:

y ₁ = x ₁a₁₁ + x ₂a₁₂ + … + x_n a_{1 n} ,

y ₂ = x ₁a₂₁ + x ₂a₂₂ + … + x_n a_{2 n} ,

…………………………………..

y_n = x ₁a _{n 1} + x ₂a _{n 2} + … + x_n a _nn.

Полученные равенства можно записать в матричной форме:

= × или [j(x)] = M (j)×[ x ].

Теорема 9.2 (о матрице линейного оператора). Если для любого вектора x из пространства V выполняется матричное равенство [j(x)] = В ×[ x ], то матрица B является матрицей линейного оператора j.