Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Условия, при которых матрица подобна диагональной матрице



Пусть A – квадратная матрица. Можно считать, что это матрица некоторого линейного оператора, заданного в каком - то базисе. Известно, что в другом базисематрица линейного оператора примет другой вид, в частности, как в одном из предыдущих примеров 9.3, диагональный. Это значит, что исходная матрица подобна диагональной матрице. Возникает вопрос: всегда ли данная матрица подобнадиагональной? Как это установить? Как найти соответствующий базис?

Теорема 9.14. Матрица A подобна диагональной матрицетогда и только тогда, когда линейный операторj, заданныйэтой матрицей, имеет n линейно независимых собственных векторов.

Доказательство. Пусть матрица A подобна диагональной матрице, то естьулинейного оператораj сматрицей A = M (j) внекоторомбазисе с 1, с 2, …, сn матрица примет следующий вид M '(j) = .Используяматрицу, найдемобразы базисных векторов: j(с 1) = l1 с 1, j(с 2) = l2 с 2, …, j(сn) = l nсn. Получены n линейно независимых собственных векторов.

У линейного оператораj есть n линейно независимых собственных векторов с 1, с 2, …, сn ссобственнымизначениями l1, l2, …, l n. Выберем векторы с 1, с 2, …, сn в качестве базисных векторов и найдем матрицу оператораj в этом базисе. Используя равенства j(с 1) = l1 с 1, j(с 2) = l2 с 2, …, j(сn) = l nсn составим матрицу M '(j): M '(j) = .

Теорема 9.15. Если матрица A имеет n попарно различных собственных значений, то она подобна диагональной матрице.

Это утверждение основано на свойстве собственных векторов: попарно различным собственнымзначениям соответствуютлинейно независимыесобственныевекторы.

Пример 9.8. Привести матрицу A к диагональномувиду, если это возможно, указать базис и матрицу перехода.

1) A = .Для этого случая собственные векторы уже найдены (пример 9.7), линейно независимых векторовоказалось только 2, а в базисе должно быть 3. Вывод: матрица A к диагональномувиду не приводится.Другими словами: матрица A не подобна диагональной.

2) A = .Находим собственные значения матрицы A. Вычислим определитель

| A – l E | = = =

=(1 – l) = (1 – l) =

= (1 – l)×1×(–1)2 + 2× = (1 – l)((7 – l)(–7 – l) – 6(–8)) =

= (1 – l)(l2 – 1) = –(l + 1)(l – 1)2 = 0. Тогда l1 = l2 = 1, l3 = –1 – собственные значения матрицы A.

Находим собственные векторы, соответствующие этим собственнымзначениям. Рассмотрим случай l1 = l2 = 1. Решаем однороднуюсистему линейныхуравнений ~ (1 –2 1), тогда х 1 = 2 х 2х 3 –общее решение системы, векторы с 1 = (2, 1, 0) с 2 = (1, 0, –1) линейно независимые собственные векторы с собственнымзначением l1 = l2 = 1.

Рассмотрим случай l3 = –1. Получаем систему . Решая ее, получим только один линейно независимыйсобственныйвектор с 3 = (3, 5, 6).

Найдены три линейно независимыхсобственныхвектора с 1, с 2, с 3. Выберем их в качестве нового базиса и найдем матрицу линейного оператора в этом базисе.

Поскольку j(с 1) = 1 с 1, j(с 2) = 1 с 2, j(с 3) = (–1) с 3, то матрица линейного оператора M '(j) = и T = –матрица перехода от старого базиса к новому.





Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 3700 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.007 с)...