Свойства собственных векторов

1. Каждыйсобственныйвекторпринадлежит только одному собственному значению.

Доказательство. Пусть x собственный вектор с двумя собственными значениями l₁ иl₂. Тогда j(x) = l₁ х иj(x) = l₂ x. Отсюдаl₁ х = l₂ x Þ
(l₁ – l₂) x = 0 и так как вектор x ненулевой, то(l₁ – l₂) = 0 Þ l₁ = l₂.

2. Если вектор x – собственныйвекторлинейного оператора j с собственным значениемλ, то вектор y = kx (k ¹ 0) тоже собственный с тем же собственным значением λ.

Доказательство. j(y) = j(kx) = k j(x) = k (l x) = l(kx) = l y. Следовательно, вектор y – собственный вектор оператора j с собственным значением l.

3. Множество собственных векторов с одним и тем собственным значениемλпри добавлении нулевого вектора образует подпространство пространства V.

Доказательство. Обозначим это множество символом L ^(l). Докажем, что множество L ^(l) È { o } образует подпространство пространства V, для чего проверим его замкнутость относительно сложения векторов и умножения их на элемент поля.

Пусть x, y Î L ^(l) È { o }, тогда j(x) = l х, j(y) = l y. Найдем j(x + y): j(x + y) = j(x) + j(y) = l х + l y = l(х + y), значит (х + y) Î L ^(l) È { o }.

Пусть x Î L ^(l) È { o }, k Î P, j(x) = l х, тогда j(kx) = k j(x) = k (l х) = l(kх), значит kх Î L ^(l) È { o }.

4. Собственные векторы с попарно различными собственными значениями линейно независимы.

Следствие. Линейный оператор, заданный в n -мерном линейном пространстве, не может иметь более чем n различных собственных значений.