Обратимые линейные операторы

Определение 9.12. Линейныйоператор j называется обратимым, если существуетлинейныйоператорψтакойчто выполняетсяравенство j×ψ = ψ×j= e, где e – тождественный оператор.

Теорема 9.10. Если линейныйоператорj обратим,тооператорψопределяется единственным образом и называетсяобратнымдляоператора j.

В этом случае оператор, обратный для оператораj, обозначается j^–1.

Теорема 9.11. Линейный операторj обратим тогда и только тогда, когда обратима его матрица M (j), при этом M (j^–1) = (M (j))^–1.

Из этой теоремы следует, что ранг обратимого линейного оператора равенразмерностипространства, а дефект равен нулю.

Пример 9.41) Определить, обратим ли линейныйоператор j, если j(x) = (2 х ₁ – х ₂, –4 х ₁ + 2 х ₂).

Решение. Составим матрицу этого линейного оператора: M (j) = . Так как = 0 то матрица M (j) необратима, а значит, необратим и линейныйоператорj.

2) Найтилинейныйоператор,обратныйоператору j, еслиj(x) = (2 х ₁ + х ₂, 3 х ₁ + 2 х ₂).

Решение. Матрица этого линейногооператора, равная M (j) = , обратима, так как | M (j)| ≠ 0. (M (j))^–1 = , поэтому
j^–1= (2 х ₁ – х ₂, –3 х ₁ + 2 х ₂).

9.7. Собственныевекторы линейного оператора

Ввекторном пространстве V над произвольным полем P задан линейныйоператорj.

Определение 9.13. Ненулевой вектор x называется собственным вектором линейного оператора j с собственным значениемλ, если j(х) = λ x.

Говорят, что вектор x принадлежитсобственному значениюλ.

При этомλ называется не только собственным значениемвектора x, но и собственным значением линейного оператора j.

Пример 9.5. 1) Любой ненулевой вектор является собственным вектором оператора гомотетии.

2) Рассмотрим оператор дифференцированиявпространстведифференцируемыхфункций. Вектор f = е ^{3 х} является собственным вектором этого оператора с собственным значением 3, так как f ' = 3 е ^{3 х} = 3 f.

3) Для линейного оператора, заданного матрицей M (j) = собственнымявляется вектор c = (1, 2, 0), так как j(с) = 2 с. Проверим это:

[j(с)] = M (j)[ c ] = = = 2 = 2[ с ].