Матрицы линейного оператора в различных базисах

Зададим в пространстве V два базиса e ₁, e ₂, …, e_n и e '₁, e '₂, …, e ' _n (старый и новый). Связь между двумя базисами выражается матрицей перехода T. В пространстве V действует линейный операторj.В каждом из этих базисов для линейногооператоранайдены матрицы. Обозначим их, соответственно, M (j)и M '(j) иустановим, как одна из них выражается через другую.

Пусть [ x ] и [ x ]' столбцы координат произвольного вектора x в старом и новом базисах соответственно, связь между которыми дает формула: [ x ] = Т ×[ x ]'. Векторj(x) – образ вектора х, пусть [j(x)] и [j(x)]' – столбцы координат вектораj(x) в старом и новом базисах соответственно.Имеет место формула [j(x)] = Т ×[j(x)]'.

Вставим в соотношение [j(x)] = M (j)×[ x ] выражение старыхкоординатвекторов x и j(x) черезновые: Т ×[j(x)]' = M (j)× Т ×[ x ]'. Умножим полученное равенство слева на матрицу T ^–1 и получим [j(x)]' = (T ^–1× M (j)× Т )×[ x ]'.

Изтеоремы 9.2 о матрице линейного оператора следует, что

M '(j) = T ^–1× M (j)× Т .

Пример 9.3. 1) Линейный операторjв базисе e ₁, e ₂ задан формулой j(x) = (3 х ₁ – х ₂, х ₁ + х ₂). Найти матрицу этого линейногооператора в базисе e '₁, e '₂ если e '₁ = 3 е ₁ + 2 е ₂, e '₂ = 4 е ₁ + 3 е ₂.

Решение. Сначала составим матрицу линейногооператора в старом базисе, для чего нужны координаты образов базисных векторов:

j(e ₁) = j(1, 0) = (3×1 – 0, 1 + 0) = (3, 1),

j(e ₂) = j(0, 1) = (3×0 – 1, 0 + 1) = (–1, 1),

M (j) = .

Затем находим матрицу перехода T и обратную к ней матрицу T ^–1:

e '₁ = 3 е ₁ + 2 е ₂ Þ e '₁ = (3, 2),

e '₂ = 4 е ₁ + 3 е ₂ Þ e '₂ = (4, 3),

T = тогда T ^–1 = .

Используем формулу и находим M '(j) = T ^–1× M (j)× Т:

M '(j) = × × = × = .

Ответ: M '(j) = .

2) Линейный операторjв базисе e ₁, e ₂ задан формулой j(x) = (2 х ₁ + 4 х ₂, – х ₁ – 3 х ₂). Найти матрицу этого линейногооператора в базисе e '₁, e '₂ если e '₁ = –4 е ₁ + е ₂, e '₂ = – е ₁ + е ₂.

Решение. Порассмотренному алгоритму найдем M (j) и M '(j).

Ответ: M (j) = , M '(j) = .

Отметим, что в новом базисе матрица линейного оператора приняла диагональный вид.