Алгоритм нахождения собственных векторов линейного оператора

1. Найти собственные значения линейного оператора каксобственныезначения его матрицы

2. Для каждого из найденных собственных значений l₀ находимсобственные векторы, решая однороднуюсистему линейныхуравнений (*) с основной матрицей M (j) – λ₀ E.

3. Множество равно линейной оболочкефундаментального набора решений этой системы за исключением нулевого вектора.

Пример 9.7. Найти собственныевекторылинейного оператора с матрицей M (j) = .

Решение. Находим собственные значения матрицы линейного оператора, для чего решаем уравнение | M (j) – λ E | = 0.

= (2–l)(–1)^{3 + 3} = (2 – l)((–l)(4 – l) – (–4)) =

= (2 – l)(l² – 4l + 4) = (2 – l)(l – 2)² = (2 – l)³ = 0 Þ l₁ = l₂ = l₃ = 2.

Итак, получили f (λ) = (2 – l)³ – характеристический многочлен матрицы M (j); (2 – l)³ = 0 – характеристическое уравнение матрицы M (j); l₁ = l₂ = l₃ = 2 – собственные значения матрицы M (j), т. е. это собственные значения линейного оператора j.

Собственное значение у этого линейного оператора только одно, поэтому решаем только одну однороднуюсистему линейныхуравненийс матрицей .

~ ~ .

Выпишемобщее решение этой системы х ₁ = (х ₂ + 0 х ₃) и составим фундаментальный набор решений

с ₁= (1, 2, 0), с ₂= (0, 0, 1).

Ответ. Множество собственных векторов с собственным значениемλ = 2 это множество L = L (с ₁, с ₂)\{ o } = { k ₁ c ₁ + k ₂ c ₂, }.