Однорідна система рівнянь. Фундаментальна система розв'язків однорідної системи рівнянь

Розглянемо однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь

(1)

Використовуючи знак підсумовування, і-те рівняння системи (1) можна записати в вигляді

А тоді всю систему (1) можна подати в вигляді

Для системи (1) розв’яжемо задачі, які ставляться в теорії лінійних алгебраїчних рівнянь:

1) питання сумісності;

2) питання визначеності і невизначеності.

Зрозуміло, що будь-яка однорідна система має розв’язок (0,0,…,0) (його називають нульовим або тривіальним), тому однорідна система завжди сумісна. Цей же результат випливає з теореми Кронекера-Капеллі, яка виконується для будь-якої однорідної системи.

З’ясуємо умови визначеності однорідної системи, застосувавши вже відомий критерій:

· Якщо ранг rA=n (n- кількісь невідомих), то система (1) має лишеодин розв’язок – нульовий, і система (1) є визначеною.

· Якщо ранг rA<n (n- кількісь невідомих), то система (1) має безліч розв’язків і система (1) є невизначеною.

Розглянемо властивості розв’язків однорідної системи.

Властивість 1. Сума двох розв’язків однорідної системи є також розв’язком цієї системи.

Властивість 2. Добуток розв’язку однорідної системи на деяке число є також розв’язоком однорідної системи.