Теорема. 1. Якщо ранг матриці А дорівнює рангу розширеної матриіці і це спільне значення менше n (rA=r <n)

1. Якщо ранг матриці А дорівнює рангу розширеної матриіці і це спільне значення менше n (rA=r < n), де n – кількість невідомих у системі, то система (1) є невизначеною.

2. Якщо ранг матриці А дорівнює рангу розширеної матриіці і це спільне значення дорівнює n (rA=r = n), де n – кількість невідомих у системі, то система (1) є визначеною.

Доведення. Нехай задано систему

За умовою rA=r = n

Рівність рангів означає, що в матриці і є лише р лінійно незалежних стовпців. Для визначенності, нехай це будуть перші р стовпців. Це також означає, що в матриц і лише р - лінійно-залежних рядків. Нехай для визначенності це будуть перші р - рядків. тому мінор р - того порядку, не рівний нулю розташований у лівому верхньому куту. Для системи (1) з попередньої інформаії випливає, що в ній лише р - лінійно незалежних рівнянь, причому за нашим припущенням це перші р з них, а інші s-р рівнянь є їх лінійними комбінаціями, тому за допомогою елементарних перетворень їх можна перетворити на рівняння такого типу , отже їх можна відкинути.

В отриманій системі ліворуч запишемо ті невідомі, коефіцієнти при яких утворюютъ визначник р-того порядку, не рівний нулю. За нашим припущенням це перші р. Отже, отримаемо систему

(4)

.

Будемо розглядати цю систему, як систему р рівнянъ з р невідомими і з визначником, що не дорівнює нулю. Застосуємо теорему Крамера. Тоді матимемо для :

(5)

Розглянемо два випадки.

1) Нехай p<n. Тоді існують вільні невідомі в тому сенсі, що їх можна задавати довільно. Тобто, в цьому випадку система має безліч розв’язків, а тому є невизначеною.

2) Нехай p=n. Покладемо в (5) :

Тобто в цьому випадку вільних невідомих система не має, тому система має один розв’язок, а тому є визначеною.

З формули (5) отримаємо співвідношення (**) для однорідної системи, важливе для наступного розділу.

Означення. Однорідною системою лінійних алгебраїчних рівнянь називається лінійна система, вільні члени якої дорівнюють нулю.

Запишемо формулу (5) для однорідної системи:

Розкладемо цей визначник за елементами k -того стовбця

Розкриємо всі дужки, зведемо подібні, тоді отримаємо:

.