Наслідок 1

Максимальна кількість лінійно-незалежних рядків матриці дорівнює максимальному числу лінійно-незалежних стовпців матриці, тобто дорівнює рангу матриці.

Доведення:

Розглянемо довільну матрицю А

Нехай максимальна кількість лінійно-незалежних стовпців = р, тобто

Треба довести, що максимальна кількість лінійно-незалежних рядків = р.

Для доведення побудуємо транспоновану матрицю

1) Доведемо, що ранг матриці А' дорівнює р.

З того, що випливає (з теореми про ранг), що в матриці А є мінор р - того порядку, не рівний нулю, , а всі мінори більш високих порядків дорівнюють нулю.

Всі мінори матриці А в транспонованому вигляді знаходяться в матриці А'. Відомо, що при транспонуванні визначник не змінюється.

Тому в матриці А' є мінор р - того порядку не рівний нулю, а всі мінори більш високих порядків дорівнюють нулю. З теореми про ранг випливає, що

Тоді за означенням в матриці А' лише р лінійно незалежних стовпців, а вони є рядками матриці А