Теорема. Для того, щоб визначник п - того порядку дорівнював нулю необхідно і достатньо, щоб його рядки (стовпці) утворювали лінійно залежну систему

Для того, щоб визначник п - того порядку дорівнював нулю необхідно і достатньо, щоб його рядки (стовпці) утворювали лінійно залежну систему.

Доведення:

Необхідність: є другим наслідком теореми про ранг.

Достатність:

Нехай рядки (стовпці) лінійно залежні, треба довести, що .

При доведенні виникають два випадки.

1) Тоді -і його рядки лінійно-залежні

2) Тоді лінійна залежність рядків означає, що існує рядок, який є лінійною комбінацією інших.

А тоді за властивістю 9 визначників визначник дорівнює нулю.