Наслідок 2

Для того щоб визначник дорівнював нулю. Необхідно, щоб його рядки (стовпці) були лінійно незалежними.

Доведення:

Нехай визначник . Треба довести, що його рядки (стовпці) лінійно-залежні

Розглянемо матрицю, що відповідає цьому визначнику

Доведемо, що

Припустимо супротивне, що , тоді з теореми про ранг випливає, що в А існує мінор d п - того порядку, не рівний нулю.

А за умовою . Ми отримали суперечність. Звідси випливає, що

Тоді за означенням рангу в матриці А лише р лінійно незалежних стовпців, інші n-р є їх лінійними комбінаціями. Тобто, загалом стовпці лінійно залежні.

Тепер ми можемо сформулювати необхідну і достатню умову рівності визначника нулю.