Критерій сумісності лінійних алгебраїчних рівнянь

Теорема Кронекера-Капеллі. Для того, щоб система лінійних алгебраїчних рівнянь була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці системи дорівнював рангу розширенної матриці.

Означення. Матрицею системи називають матрицю утворену з коефіціентів при невідомих.

Розширеною матрицею називають матрицю системи, яка утворена з матриці системи приєднанням стовпця вільних членів.

Доведення теореми. Нехай задана система

(1)

, .

Необхідність. Нехай система (1) сумісна. Треба довести, що r A = r` . Скористаємось умовою, що система (1) сумісна: Нехай () – розв’язок системи (1).

За означенням розв'язку маємо систему правильних числових рівностей

Ці рівності означають, що останній стовпець матриці ` є лінійною комбінацією стовпців матриці А. З цього випливає, що максимальна кількість стовців матриці А збігається з максимальною кількістю стовпців матриці `А, тобто r A = r`A.

Достатність. Нехай r A = r `A. Треба довести, що система (1) сумісна. Тоді

будь-яка максимальна лінійно незалежна система стовпців матриці А залишається максимально лінійно незалежною системою і в матриці `А. Таким чином, через цю систему, а тому і взагалі через систему стовпців матриці А, лінійно виражається останній стовбець матриці А. Отже, існує така система коефіцієнтів , що сума стовпців матриці А, взятих з цими коефіцієнтами, дорівнює стовпцю з вільних членів, а тому числа є розв’язком системи (1). Таким чином, якщо r A = r , система (1) сумісна.