Поняття рангу системи векторів

Нехай задано систему векторів довільного простору:

(1)

Означення. Максимальною лінійно незалежною підсистемою даної системи векторів називається така її лінійно незалежна підсистема приєднання до якої будь-якого вектора цієї ж системи приводить до лінійно залежної системи.

Означення. Рангом системи векторів (1) називається кількість векторів, що входить до максимальної лінійно-незалежної її підсистеми.

Зауваження Для того, щоб означення вимірності лінійного простору і означення рангу системи векторів було коректним, треба було б довести, що кількість векторів, що входять в будь-яку максимальну лінійно незалежну систему простору (а для рангу – будь-яку максимально-лінійно незалежної підсистеми) є однаковим.

Для подальшого потрібне таке означення.

Означення 1. Говоритимемо, що система векторів (1) лінійно виражається через систему векторів (2) , якщо кожний вектор системи (1) є лінійною комбінацією векторів системи (2):

(3)

Означення 2. Системи векторів (1) і (2) називаються еквівалентними, якщо кожна з них лінійно виражається через другу

Властивість (транзитивності)

Якщо система векторів (1) лінійно виражається через систему векторів (2), а система (2) через систему (3), тоді система (1) лінійно виражається через (3).