Доведення. Розглянемо рівність (*) з означення лінійно залежної і лінійно незалежної системи:

Розглянемо рівність (*) з означення лінійно залежної і лінійно незалежної системи:

З'ясуємо, при яких вона виконується:

З цієї векторної рівності отримаємо п-числових різностей.

Отримали систему n-рівнянь з s-невідомими. Ця система завжди сумісна тому що вона має принаймні один нульовий розв'язок.

Але за допомогою елементарних перетворень вона зводиться до кінцевого вигляду, де кількість рівнянь менша за кількість невідомих.

Повертаючись до рівності (*) приходимо до висновку що рівність (*) виконується коли принаймі одне з -тих не дорівнює нулю, тому -лінійно залежні.

Наслідок. Будь-яка система з n + 1 вектора з п-компонентами є лінійно-залежна. Це негайно випливає, якщо з покласти .

З цього випливає, що вимірність арифметичного простору не більш ніж: п. Для того, щоб довести, що вимірність дорівнює n треба знайти принаймні одну лінійно незалежну систему векторів, що містить n-векторів.

Такою системою векторів є наприклад:

Доведемо, що вони лінійно незалежні. Складемо рівність (*).

(*)

З цього випливає

Тобто (*) виконується лише один раз при , тому система векторів є лінійно незалежною.

Отже, ми довели, що арифметичний простір є n-вимірним (n – кількість компонент вектора).

Зауваження. Поняття вимірності лінійного простору можна ввести і за таким означенням.

Означення. Вимірністю лінійного простору називається кількість векторів, що входять до базису.

Для того щоб це означення було корректним треба було б довести, що усі базиси даного простору містять однакову кількість векторів (насправді, це так).

Позначимо n-вимірний довільний векторний простір через Vⁿ.

Введемо поняття підпростору даного простору Vⁿ.

Означення. Підмножина лінійного простору Vⁿ називається підпростором даного простору, якщо є само простором відносно операцій, визначених в Vⁿ.

Безпосередньо з означення лінійного простору випливає, що для того щоб переконатися, що підмножина є підпростором, треба перевірити виконання десятьох умов. Дві з них стосуються визначеності операцій (додавання та множення на число), 8 умов – аксіоми, і описують властивості цих операцій. Насправді, треба перевірити виконання лише двох умов, а саме, визначеність операцій в .

Доведемо це. Нехай в визначені ті ж операції що і в Vⁿ, тобто:

Якщо ,то

а) ;

б) .

Зрозуміло, оскільки всі елементи множини належать Vⁿ, то з цього негайно випливає виконання аксіом 1), 2), 5), 6), 7), 8).

Доведемо, що виконується умова – аксіома 3), 4), тобто що . Наспправді, нехай , оскільки , то при , а при .