Теоремы Мореры и Лиувилля

Теорема Мореры. Если f (z)ÎC(g), g-односвязная и для " замкнутого gÌg: , то f(z) Î C^¥(g).

Доказательство. При условиях теоремы $ Î C^¥(g) (Теорема 6.1.), где z ₀ и z - произвольные точки g, а интеграл берется по " пути внутри g, соединяющему эти точки. При этом F'(z)=f(z). Но производная аналитической функции сама является аналитической функцией (Теорема 8.1), в частности $ F"(z)= f '(z) ÎC(g).

Теорема Лиувилля. Если f(z)- аналитическая на всей комплексной области и $ M: | f (z)| M, f (z) º const.

Доказательство. Выразим значение f '(z) в произвольной точке z через значения функции на окружности радиуса R с центром в точке z

.

На C _R: |x - z |= R. По условию теоремы $ M: | f (x)| M не зависимо от R =>

Устремив R ®¥, получим | f '(z)|=0 Þ f (z)=const для " z.

Замечание. Отсюда, в частности следует, что $ z: |sin(z)|>1.