Свойства сходящихся рядов

Необходимый признак сходимости ряда. Если сходится, то a_n ®0.

Доказательство. У сходящегося ряд сходится последовательность частичных сумм { S_n }Þ "e>0 $ N (e): | S_n+m-S_n |<e для " n>N и " m >0 Þ | a_n+1 |=| S_n+1-S_n |<e для " n>N Þ a_n ®0 при n ®¥.

Теорема 9.1. Пусть c – комплексное число. Если ряд сходится, то и ряд также сходится и

.

Доказательство. Рассмотрим частичные суммы и . По условию $ . Т.к. S_n=cS’_n и = . Согласно определению суммы ряда отсюда сразу следует

.

Теорема 9.2. Пусть ряды и сходятся, тогда ряд также сходится и

= + .

Доказательство. Рассмотрим частичные суммы , и . Очевидно, s _n=S_n+S’_n. По условию $ и Þ $ = + . Откуда сразу следует утверждение теоремы.

Пример. = = .