Существование производных всех порядков в области аналитичности функции комплексной переменной

Пусть f(z) Î C^¥(). Тогда значения f(z) во всех внутренних точках области (z Îg) можно выразить через значения f(z) на ¶g при помощи интеграла Коши .

Производная порядка n нашей подынтегральной функции по параметру z равна => она непрерывна везде внутри g => можно дифференцировать интеграл Коши произвольное число раз. Т.о. справедлива

Теорема 8.1. Пусть f(z) Î C^¥(), тогда внутри g существуют производные произвольного порядка и верна формула

.

Замечание. Существенное отличие комплексных функций от функций действительной переменной, для которых из существования первой производной, вообще говоря, не следует существование высших

производных. Например, функция y(x)=x|x| непрерывна на всей числовой прямой; ее производная y'(x)=2|x| также непрерывна на всей числовой прямой, однако, y"(0) не существует!