Формула среднего значения

Пусть z ₀- некоторая внутренняя точка односвязной области g. Возьмем окружность C _R с центром в z ₀ и радиусом R, C _R Ì g.

Тогда

C _R: x= z ₀+ R e^{i j}_; dx = i Re^{i j} dj = i e^{i j} ds (ds – дифференциал дуги)

Принцип максимума модуля. Если f(z) Î C^¥(), тогда или | f (z)|ºconst или | f (z)| достигает своего максимального значения только на ¶g.
Доказательство.

Пусть максимум модуля достигается во внутренней точке : . Возьмем произвольную окружность с центром в этой точке и радиуса . Запишем формулу средних

Возьмем модуль

Из этого соотношения и непрерывности следует

Действительно, если на контуре существует точка, где , тогда в силу непрерывности существует окрестность этой точки , где (). Тогда

Если для окружности произвольного радиуса , тогда внутри некоторого круга с центром в точке и целиком лежащего в .

Выберем произвольную точку вне этого круга. Докажем, что и . Для этого проведем гладкую кривую, соединяющую точки и . Это можно сделать, т.к. - область.

Найдем точку пересечения окружности и этой кривой.

Повторим наши рассуждения, выбрав в качестве центра круга новую точку . Получим, что . Найдем точку пересечения окружности и кривой, соединяющей точки и . И т.д. пока не попадет внутрь очередного круга . Т.о. предположив, что , мы доказали, что в любой другой внутренней точке области.

§ 8. Интегралы, зависящие от параметра.