Интегральная формула Коши

Пусть f(z) Î C^¥(). Выразим f(z₀) (z ₀Îg) через значения f(z) на ¶g.

j(z)= f (z)/(z-z ₀) Î C^¥( /z₀).

Возьмем в области g произвольный такой замкнутый контур g: z ₀ Ì g. j(z)ÎC^¥(g^*) (g^* - многосвязная область между ¶g и g).

По теореме Коши для многосвязной области

: x= z ₀+r e ^{i j}, dx = i r e ^{i j} dj

В силу произвольности можем r®0.

f(z) Î C^¥()=> " e>0 $ r: | f (x)- f (z ₀)|< e как только |x- z ₀|<r ("j!) =>

$

Т.о. или

- интеграл Коши

Замечания.

1. Формула верна как для g односвязной, так и g- многосвязной, только в последнем случае g⁺- полная граница области, проходимая в положительном направлении.

2. Интеграл Коши имеет смысл для " взаимного расположения точки z ₀ и замкнутого контура G (не проходящего через z ₀) в области аналитичности f(z)