Формула полной вероятности. Формула Бейеса

Теорема 5.1 Пусть событие А может произойти только с одним из событий H₁, H₂, …, H_n, образующих полную группу попарно несовместных событий, т.е. и

Тогда вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности

(5.1)

При этом события H₁, H₂, …, H_n обычно называют гипотезами, ачисла P (H_i) – вероятностями гипотез.

Теорема 5.2 Если в результате опыта осуществилось событие А, то прежние, доопытные (или априорные) вероятности гипотез P (H₁),…, P (H_n) должны быть заменены на новые, послеопытные (или апостериорные) вероятности P (H₁ | A),…, P (H_n | A), которые вычисляются по формуле Бейеса:

(i = 1, 2,…, п), где вероятность Р(А) вычисляется по формуле (5.1).

Пример 1. 45% телевизоров, имеющихся в магазине, изготовлены на 1-м заводе, 15% – на 2-м, остальные – на 3-м заводе. Вероятности того, что телевизоры, изготовленные на этих заводах, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока, равны 0,96; 0,84; 0,90 соответственно. Найти вероятность того, что купленный наудачу телевизор выдержит гарантийный срок работы.

█ Решение. Пусть событие: А = {телевизор выдержит гарантийный срок работы}, а гипотезы H ₁ = {телевизор изготовлен на 1-м заводе}, H ₂ = {телевизор изготовлен на 2-м заводе}, H ₃ = {телевизор изготовлен на 3-м заводе}.

События H ₁, H ₂, H ₃образуют полную группу несовместных событий, при этом ; ; . (Для контроля можно найти сумму вероятностей гипотез; она должна равняться единице )

По условию , .Отсюда по формуле полной вероятности имеем

█

Рис. Схема дорог

Пример 2 На рисунке изображена схема дорог. Туристы выходят из пункта А, выбирая наугад на каждой развилке дорог один из возможных путей. Какова вероятность того, что они попадут в пункт B?

¼∙¼ + ¼∙½ + ¼∙1 + ¼∙1/3 = 25/48

Пример 3. Техническое устройство выйдет из строя, если откажут не менее двух из трех независимо работающих элементов. Вероятности отказов 1-го, 2-го, 3-го элементов соответственно равны 0,2; 0,4; 0,3. Известно, что устройство отказало. Найти вероятность того, что отказали 1-й и 2-й элементы.

█ Решение. Пусть событие A = {устройство отказало}. До опыта, т.е. до отказа устройства, можно сделать следующие предположения-гипотезы-.

H ₁₂₃ = {откажут все три элемента};

H ₁₂ = {откажут два элемента: 1-й и 2-й, 3-й – не откажет};

H ₁₃ = {откажут два элемента: 1-й и 3-й, 2-й – не откажет};

H ₂₃ = {откажут два элемента: 2-й и 3-й, 1-й – не откажет};

H ₁ = {откажет один элемент: 1-й, не откажут 2-й, 3-й};

H ₂ = {откажет один элемент: 2-й, не откажут 1-й,3-й};

H ₃ = {откажет один элемент: 3-й, не откажут 1-й, 2-й};

H ₀ = {все элементы, будут работать}.

Пользуясь правилом умножения вероятностей для независимых событий, найдем вероятности этих гипотез:

P (H ₁₂₃) = 0,2 ∙ 0,4 ∙ 0,3 = 0,024;

P (H ₁₂) = 0,2 ∙ 0,4 ∙ 0,7 = 0,056;

P (H ₁₃) = 0,2 ∙ 0,6 ∙ 0,3 = 0,036;

P (H ₂₃) = 0,8 ∙ 0,4 ∙ 0,3 = 0,096;

P (H ₁) = 0,2 ∙ 0,6 ∙ 0,7 = 0,084;

P (H ₂) = 0,8 ∙ 0,4 ∙ 0,7 = 0,224;

P (H ₃) = 0,8 ∙ 0,6 ∙ 0,3 = 0,144;

P (H ₀) = 0,8 ∙ 0,6 ∙ 0,7 = 0,336.

(Контроль: = 0,024 + 0,056 +... + 0,336 = 1.)

Учитывая, что в результате опыта произошло событие А, которое невозможно при гипотезах H ₁₂₃, H ₁₂, H ₁₃, H ₂₃ и достоверно при гипотезах H ₁, H ₂, H ₃, H ₀, найдем условные вероятности событий Р(А | H_i):

Р (А | H₁₂₃) = 1, Р (А | H₁₂) = 1, Р (А | H₁₃) = 1, Р (А | H₂₃) = 1, Р (А | H₁) = 0, Р (А | H₂) = 0, Р (А | H₃) = 0, Р (А | H₀) = 0.

Найдем вероятность гипотезы H ₁₂ при условии, что событие А произошло (т.е. Р (H₁₂ | А) по формуле Бейеса. Для этого предварительно найдём вероятность события A по формуле (5.1)

█